Schnittpunkt Ellipse und Gerade

Question

Aufgabe: Für welche a Element von R hat die Gerade g mit der Ellipse ell zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit Ellena genau einen Punkt hat, gib diesen an!

g: -2x+ay=20

ell: 4x*2+25y^2=200

Problem/Ansatz:

Prinzipiell weiß ich, wie ich Schnittpunkte berechne, aber was mache ich mit dem a? Ich kann diese Gleichung nicht lösen...

Answer 1

- 2·x + a·y = 20 --> x = 0.5·a·y - 10

In die andere Gleichung einsetzen

4·x^2 + 25·y^2 = 200
4·(0.5·a·y - 10)^2 + 25·y^2 = 200
a^2·y^2 - 40·a·y + 400 + 25·y^2 = 200
(a^2 + 25)·y^2 - 40·a·y + 200 = 0

D = (- 40·a)^2 - 4·(a^2 + 25)·(200) = 0 --> a = ±5

Skizze

Comments

Vielen Dank!!!

Answer 2

Setze x aus g in die 2. Gleichung ein. Untersuche die Diskriminante zur 2. Gleichung!

>0

=0

<0

x = a/2 * y - 10 einsetzen und vereinfachen:

y² (a²+25) - 40ay +200 = 0 ist eine quadrat. Gleichung

Diskriminante D= 1600 a² -4*(a²+25)*200

Wann ist D = 0?

a = ± 5

Dann <0, >0

Comments

Vielen Dank!

Answer 3

Hallo,

Setze g in l ein. Du bekommst eine quadratische Gleichung:

Betrachte den Wert unter Wurzel:

1. Die Diskriminante ist größer als \( 0(D>0) \) : die quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen

2. Die Diskriminante ist genau \( 0(D=0) \) : die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung
3. Die Diskriminante ist kleiner als \( 0(D<0) \) : die quadratische Gleichung hat keine Lösung

Comments

Das bedeutet ich muss

x= -ay+20/-2

Das setze ich in ell ein

4.(-ay+20/-2)^2+25y^2=200

Prinzipiell kann ich quadratische Gleichungen lösen, aber was mache ich mit dem a? Da hab ich ja dann 2 Variablen? Bitte kannst du mir das bitte erklären? Vielen Dank!!!

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2. Zeile: Klammer! Rest s.o.!

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hat sich nun erledigt