Fallunterscheidung bei einer Ungleichung

Question

ich beschäftige mich zur Zeit mit Ungleichungen und der damit verbundenen Fallunterscheidung

Ich wollte nur fragen ob mein bisheriges Vorgehen bei folgender Aufgabe richtig ist

$$\frac { 2p-3 }{ p-1 } >3-p$$

 

Zunächst untersuche ich den Fall, dass p-1>0 ist, d.h. p>1

Nachdem ich die den Term dann nach p aufgelöst habe, habe ich p> √3 erhalten. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich richtig vorgegangen bin. Zum einen weiß ich nicht genau ob der Fall den ich untersuche richtig ist. Mir wurde gesagt ich schaue zunächst, was ich als erstes machen würde, wenn ich diesen Term ganz normal nach p auflösen würde. 

Das erste was ich machen würde ist den Bruch beseitigen, indem ich *(p-1) rechne. Dann habe ich quasi den Term mit dem ich die Fallunterscheid durchführen kann.

Ist mein bisheriges Vorgehen richtig oder mache ich einen Fehler bei der ganzen Sache? 

Answer 1

Das "Problem" bei Ungleichungen ist, dass  man das Ungleichheitszeichen umkehren muss, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine neagtive Zahl dividiert.

Wenn du also deine Ungleichung mit  p - 1 multiplizieren willst, dann musst du hierfür eine Fallunterscheidung durchführen, nämlich in die Fälle

Fall 1: p - 1 > 0

und

Fall 2: p - 1 < 0

Im ersten Falle kannst du einfach mit p - 1 multiplizieren, im zweiten Falle musst du bei der Multiplikation zusätzlich noch das Ungleichheitszeichen umkehren.

Also:

Fall 1: p - 1 > 0  <=> p > 1 :

( 2 p - 3 ) / ( p - 1 ) > 3 - p

Multiplikation mit p - 1 :

<=> 2 p - 3 > ( 3 - p ) * ( p - 1 )

<=> 2 p - 3 > - p ² + 4 p - 3

<=> p ² - 2 p > 0

<=> p ² - 2 p + 1 > 1

<=> ( p - 1 ) ² > 1

<=> | p - 1 | > √ 1 = 1

Da in diesem Falle p - 1 > 0 vorausgesetzt war, kann man die Betragsstriche einfach weglassen, also:

<=> p - 1 > 1

<=> p > 2

Lösungsmenge für diesen Fall ist also:

L₁ = { p | p > 1 und p > 2 } = { p | p > 2 }

 

Fall 2: p - 1 < 0  <=> p < 1 :

( 2 p - 3 ) / ( p - 1 ) > 3 - p

Multiplikation mit p - 1 , dabei das Ungleichheitszeichen umkehren:

<=> 2 p - 3 < ( 3 - p ) * ( p - 1 )

<=> 2 p - 3 < - p ² + 4 p - 3

<=> p ² - 2 p < 0

<=> p ² - 2 p + 1 < 1

<=> ( p - 1 ) ² < 1

<=> | p - 1 | < √ 1 = 1

Da in diesem Falle p - 1 < 0 vorausgesetzt war, ist der Term innerhalb der Betragsstriche negativ, daher muss dieser Term beim Auflösen der Betragsstriche mit - 1 multipliziert werden (siehe Definition der Betragsfunktion), also:

<=> - p + 1 < 1

<=> p > 0

Lösungsmenge für diesen Fall ist also:

L₂ = { p | p < 1 und p > 0 } = { p | 0 < p < 1 }

 

Die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung ist nun die Vereinigung aller Teil-Lösungsmengen, also:

L = L₁ ∪ L₂

= { p | p > 2 } ∪ { p | 0 < p < 1 }

= { p | 0 < p < 1 oder p > 2 }

 

Hier ein Schaubild der Ungleichung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282p-3%29%2F%28p-1%29%3E3-p+

Man sieht, dass die schattierten Bereiche wie berechnet zwischen p = 0 und p = 1 sowie bei p > 2 liegen.

Comments

Danke, wenn ich den ersten fall lösen will, komme ich aber auf ein anderes Ergebnis.
ich multipliziere mit (p-1)

2p-3>(3-p)(p-1)

2p-3>3p-3-p^2 + p

2p-3>4p-3-p^2 |-2p

-3>2p-3-p^2 |+3

0>2p-p^2 |-2p

-2p>-p^2

dann weiß ich auch nicht weiter. Wo genau habe ich denn einen Fehler gemacht?

---

Du hast keinen Fehler gemacht, bis dahin ist alles richtig.

Nun noch p ² addieren:

p ² - 2 p > 0

und wir sind wieder "auf Augenhöhe" (vgl. 6. Zeile von Fall 1 in meiner Antwort)