1. Fall: \(x≥0\)
$$ x\cdot (2-x)>1-x\\ 2x-{ x }^{ 2 }>1-x\\ -{ x }^{ 2 }+3x-1>0\\ -({ x }^{ 2 }-3x+1)>0 $$
Wir untersuchen den Term in der Klammer auf Nullstellen. Durch die p-q-Formel erhalten wir
$$ { x }_{ 1,2 }=1,5 \pm \sqrt {1,25} $$
Nun müssen wir herausfinden, ob die Funktionswerte zwischen den beiden Nullstellen positiv oder negativ sind. Wir setzen einfach mal für \(x\) die Zahl \(1,5\) ein (wähle eine Zahl die \(≥0\) ist zum Einsetzen aus).
$$-1,5^{ 2 }+3\cdot 1,5-1>0\\ -2,25+4,5-1>0\\ 1,25>0 $$
Da \(1,5\) zwischen den beiden Nullstellen liegt, wissen wir nun, dass alle Funktionswerte zwischen den beiden Nullstellen positiv sind, weswegen die dazugehörigen Stellen also die Ungleichung erfüllen.
Alle \(x\) mit
$$1,5-\sqrt { 1,25 } < x< 1,5+\sqrt { 1,25 } $$
erfüllen also die Unleichung. Wichtig hierbei ist zu beachten, dass alle \(x\) für die dies gilt auch wirklich positiv sind. Dies ist der Fall, da \(1,5-\sqrt{1,25} \) größer als \(0\) ist und somit auch alle \(x≥1,5-\sqrt{1,25}\) positiv sind.
2. Fall: \(x<0\)
$$ x\cdot (2-x)>1-(-x)\\ 2x-{ x }^{ 2 }>1+x\\ -{ x }^{ 2 }-x-1>0\\ -\left( { x }^{ 2 }+x+1 \right) >0 $$
Nun musst du die Klammer auf Nullstellen untersuchen. Du wirst feststellen, dass es keine gibt. Dann setzt du einfach mal \(-1\) für \(x\) ein (wähle eine Zahl die \(<0\) ist zum Einsetzen aus). Man erhält \(-1>0\). Macht keinen Sinn. Da es keine Nullstellen gibt, wissen wir also, dass die Ungleichung für alle \(x<0\) keinen Sinn ergibt, weswegen keine \(x<0\) die Ungleichung von Fall 2 erfüllen.
So folgt also, dass alle \(x\) mit
$$1,5-\sqrt { 1,25 } < x< 1,5+\sqrt { 1,25 } $$
die Ungleichung
$$ x\cdot (2-x)>1-|x| $$
erfüllen.
