Fallunterscheidung bei Ungleichung

Question

habe gerade eine Problem. Die Aufgabe lautet:
Für welche reellen Zahlen x gilt:

x(2-x) > 1-|x|

Mir ist bewusst, dass ich bei einer solchen Aufgabe eine Fallunterscheidung machen muss, allerdings wüsste ich nicht, wie diese Fälle aussehen sollten..

Wäre sehr dankbar über ein paar Tipps!

Lisa

Answer 1

1. Fall: $x≥0$
$$x\cdot (2-x)>1-x\\ 2x-{ x }^{ 2 }>1-x\\ -{ x }^{ 2 }+3x-1>0\\ -({ x }^{ 2 }-3x+1)>0$$
Wir untersuchen den Term in der Klammer auf Nullstellen. Durch die p-q-Formel erhalten wir
$${ x }_{ 1,2 }=1,5 \pm \sqrt {1,25}$$
Nun müssen wir herausfinden, ob die Funktionswerte zwischen den beiden Nullstellen positiv oder negativ sind. Wir setzen einfach mal für $x$ die Zahl $1,5$ ein (wähle eine Zahl die $≥0$ ist zum Einsetzen aus).
$$-1,5^{ 2 }+3\cdot 1,5-1>0\\ -2,25+4,5-1>0\\ 1,25>0$$
Da $1,5$ zwischen den beiden Nullstellen liegt, wissen wir nun, dass alle Funktionswerte zwischen den beiden Nullstellen positiv sind, weswegen die dazugehörigen Stellen also die Ungleichung erfüllen.
Alle $x$ mit
$$1,5-\sqrt { 1,25 } < x< 1,5+\sqrt { 1,25 }$$
erfüllen also die Unleichung. Wichtig hierbei ist zu beachten, dass alle $x$ für die dies gilt auch wirklich positiv sind. Dies ist der Fall, da $1,5-\sqrt{1,25}$ größer als $0$ ist und somit auch alle $x≥1,5-\sqrt{1,25}$ positiv sind.

2. Fall: $x<0$
$$x\cdot (2-x)>1-(-x)\\ 2x-{ x }^{ 2 }>1+x\\ -{ x }^{ 2 }-x-1>0\\ -\left( { x }^{ 2 }+x+1 \right) >0$$
Nun musst du die Klammer auf Nullstellen untersuchen. Du wirst feststellen, dass es keine gibt. Dann setzt du einfach mal $-1$ für $x$ ein (wähle eine Zahl die $<0$ ist zum Einsetzen aus). Man erhält $-1>0$. Macht keinen Sinn. Da es keine Nullstellen gibt, wissen wir also, dass die Ungleichung für alle $x<0$ keinen Sinn ergibt, weswegen keine $x<0$ die Ungleichung von Fall 2 erfüllen.

So folgt also, dass alle $x$ mit
$$1,5-\sqrt { 1,25 } < x< 1,5+\sqrt { 1,25 }$$
die Ungleichung
$$x\cdot (2-x)>1-|x|$$
erfüllen.

Comments

Ohh ich danke dir! Das hat mir wirklich sehr geholfen

---

Bitteschön :)