Funktion f(x):=√(x^2 - 4). Bildbereich, Definitionsbereich, Umkehrfunktion

Question

Gegeben sei die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\sqrt{x^{2}-4} \).

a) Für welche \( y \in \mathbb{R} \) ist die Gleichung \( y=f(x) \) lösbar bzw. eindeutig lösbar?

b) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \) der Funktion \( f \) an.

c) Berechnen Sie das Bild \( f([2,5]) \).

d) Bestimmen Sie \( \left.f^{-1}(f(]-3,-2 \mid)\right) \).

Answer 1

f ( x ) = √ ( x^2 - 4 )
Eine Wurzel kann nur aus einem positivem Wert oder 0 gezogen
werden.

x^2 - 4 ≥ 0  | +4
x^2 ≥ 4  | Wurzelziehen
x  ≥ 2
x ≤ -2

Es gibt also 2 Lösungsbereiche für x .
Der Funktionswert f ( x ) = y  ist jedoch der
gleiche, da x quadriert  wird.
( 2 )^2  = ( -2)^2
Nach dem Wurzelziehen reicht der
Funktionswert f ( x ) = y von 0 bis unendlich.

b.) D = ] -∞ ; -2 ] und [ 2 ; ≈ [

c.) Die Frage verstehe ich leider nicht.

d.) Verstehe ich auch nur halb.
Hier die Herleitung der Umkehrfunktion.
y  = √ ( x^2 - 4 )
Umkehrfunktion
x = √ ( y^2 - 4 )  | quadrieren
x^2 = y^2 - 4
y^2 = x^2 + 4
y = f^{-1} = √ ( x^2 + 4 )

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mfg Georg

Nach dem Hinweis von Bepprich dürfte wohl
f ( 2 ) = √ ( 2^2 - 4 ) = √ 0  = 0
f ( 5 ) = √ ( 5^2 - 4 ) = √ 21 = 4.583
gemeint sein.

d.)
f ( -3 ) = √ ( (-3)^2 - 4 ) = √ 5
f^{-1} ( f ( -3 ) ) = f^{-1} ( √ 5 ) = √ (  (√ 5)^2 + 4 )
f^{-1} ( √ 5 ) = √ 9 = 3

f ( -2 ) = √ ( (-2)^2 - 4 ) = √ 0 = 0
f^{-1} ( f ( -2 ) ) = f^{-1} ( 0  ) = √ (  0^2 + 4 )
f^{-1} ( √ 4 ) = √ 4 = 2

mfg Georg

Comments

zu c) https://de.wikipedia.org/wiki/Bild_(Mathematik)

Bild(f) = {0, √21} ?

zu d) Unter d ist bestimmt auch ein Bild gemeint?