Wir betrachten Polynome über den rationalen Zahlen Q . Man finde Polynome A , B ∈ Q [ t ] mit

Question

Wir betrachten Polynome uber den rationalen Zahlen Q
.
Man finde Polynome A, B ∈ Q [t] mit 1= (t^2-t+1)A(t)+(t^4+t^2+t) B(t)

Nun habe ich die Polynomdivision durchgeführt und erhielt t^2-t+1 mit dem Rest -t-1. Wie kann ich weiter verfahren? soll ich dieses Polynom für A(t) einsetzen und B(t) berechnen?

Answer 1

Sei  P(t):=t⁴ + t² + t  und  Q(t): = t² - t + 1.
Polynom division liefert
P(t) : Q(t) = t² + t + 1  Rest  t - 1.
Es folgt  t - 1 = P(t) - (t² + t + 1)·Q(t).
Erneute Polynomdivision liefert
Q(t) : (t - 1) = t  Rest  1.
Es folgt  1 = Q(t) - t·(t - 1) = Q(t) - t·[P(t) - (t² + t + 1)·Q(t)] = (t³ + t² + t + 1)·Q(t) - t·P(t).
Wähle also  B(t) = t  und  A(t) = t³ + t² + t + 1.