0 Daumen
656 Aufrufe

f(x)=x3/((x+1)2)

Wie kann man diese Funktion mit Integration durch Substitution lösen?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
Hi,

eine Substitution im ersten Schritt sehe ich nicht. Vielmehr eine Polynomdivision gefolgt von einer Partialbruchzerlegung:


$$\int \frac{x^3}{(x+1)^2} dx = \int x + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} - 2 dx$$


Das nun summandenweise integrieren. Da kann man beim vorletzten Summanden eventuell substituieren, den Rest sollte man aber sofort ablesen können ;).


$$\frac{x^2}{2} - 2x + 3\ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + c$$


Grüße
Avatar von 141 k 🚀
Wie führt man bei dieser Funktion die Polynomdivision durch? Muss man die Binomische Formel auflösen?
Man kann, denke ich, die Faustregel zur Hand nehmen, dass wenn der Zählergrad größer dem Nennergrad ist, dass dann die Polynomdivision das erste Mittel der Wahl ist ;).

Binomische Formel auflösen selbst bringt nichts. Zumindest nicht, dass ich sehe.
0 Daumen

Nun, man kann substituieren:

u = ( x + 1 ) 2

Die dazugehörige (fürchterliche) Rechnerei liefere ich aber nur bei Bedarf :-)

Als Hinweis:

Durch die angegebene Substitution erhält man:

$$\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 2 } } dx } =\int { \frac { (\sqrt { u } -1)^{ 3 } }{ { 2u }\sqrt { u }  }  } du$$

Avatar von 32 k
Ok, ich korrigiere meine Aussage von oben, als ich sagte ich sehe "keine" Substitution. Damit meinte ich keine "sinnvolle" :P.


Aus Interesse (Hinweise reichen, keine Rechnung notwendig), wie würdest Du fortfahren? Wenn ich das so sehe würde ich die rechte Seite auf die linke Seite umformen und dann wie bei mir vorgehen^^. Anderes scheint mir zu aufwendig?!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community