Integration durch Substitution .

Question

f(x)=x³/((x+1)²)

Wie kann man diese Funktion mit Integration durch Substitution lösen?

Answer 1

Hi,

eine Substitution im ersten Schritt sehe ich nicht. Vielmehr eine Polynomdivision gefolgt von einer Partialbruchzerlegung:


$$\int \frac{x^3}{(x+1)^2} dx = \int x + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} - 2 dx$$


Das nun summandenweise integrieren. Da kann man beim vorletzten Summanden eventuell substituieren, den Rest sollte man aber sofort ablesen können ;).


$$\frac{x^2}{2} - 2x + 3\ln(x+1) + \frac{1}{x+1} + c$$


Grüße

Comments

Wie führt man bei dieser Funktion die Polynomdivision durch? Muss man die Binomische Formel auflösen?

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Man kann, denke ich, die Faustregel zur Hand nehmen, dass wenn der Zählergrad größer dem Nennergrad ist, dass dann die Polynomdivision das erste Mittel der Wahl ist ;).

Binomische Formel auflösen selbst bringt nichts. Zumindest nicht, dass ich sehe.

Answer 2

Nun, man kann substituieren:

u = ( x + 1 ) ²

Die dazugehörige (fürchterliche) Rechnerei liefere ich aber nur bei Bedarf :-)

Als Hinweis:

Durch die angegebene Substitution erhält man:

$$\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 2 } } dx } =\int { \frac { (\sqrt { u } -1)^{ 3 } }{ { 2u }\sqrt { u }  }  } du$$

Comments

Ok, ich korrigiere meine Aussage von oben, als ich sagte ich sehe "keine" Substitution. Damit meinte ich keine "sinnvolle" :P.


Aus Interesse (Hinweise reichen, keine Rechnung notwendig), wie würdest Du fortfahren? Wenn ich das so sehe würde ich die rechte Seite auf die linke Seite umformen und dann wie bei mir vorgehen^^. Anderes scheint mir zu aufwendig?!