Analysis 1 rationale zahl

Question

Zeigen Sie: Zu jeder reellen Zahl x existiert eine Folge mit rationalen Folgengliedern die gegen x konvergiert.
Kann mir einer weiterhelfen bitte

Comments

Betrachte die Dezimalbruchentwicklung von x.

Answer 1

Hi,

Man definiere folgende Folge für eine beliebige reelle Zahl x $$ x_n=max\{\frac{k}{2^n}|k\in Z \quad k<2^nx  \} $$ Die Folge ist nach oben durch x beschränkt und monoton wachsend, also konvergent. Es gilt $$ \left|x-x_n\right|=\frac{1}{2^n}\left|2^nx-\underset{k<2^nx}{max}\quad k \right|<\frac{1}{2^n}\left| \left( \underset{k<2^nx}{max}\quad k \right)+1-\underset{k<2^nx}{max}\quad k  \right|=\frac{1}{2^n} $$ Also ist der x der Grenzwert der Folge.Damit hat man eine Folge rationaler Zahlen konstruiert die gegen eine beliebige reelle Zahl x konvergiert.