Umkehrfunktion von f(x) = (2x-5)/(x-3)

Question

Brauche Hilfe bei dieser Aufgabe

f(x)= 2x-5 geteilt durch x-3

1. Defintitionsbereich und Definitionslücken

2. Verhalten für x →∞ und Asymptoten

3. Achsenschnittpunkte

4. Graph

5. Bestimmen der Umkehrfunktion und zeichenen Sie diese

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Hi,

1. D = ℝ\{3}

Also die Nennernullstelle muss rausgenommen werden

 

2. Da Zählergrad gleich Nennergrad ist (also die jeweils höchsten Potenzen stimmen überein) bestimmen die Vorfaktoren das Verhalten. Wir haben also die waagerechte Asymptote x = 2 (das entspricht auch dem Verhalten für x->±∞) und die senktrechte Asymptote x = 3

 

3. Schnittpunkt mit der y_Achse: x = 0 setzen -> f(0) = -5/3

S_y(0|5/3)

Für x-Achsenschnittpunkt muss f(x) = 0 berechnet werden. 2x-5 = 0 -> x = 5/2

S_x(2,5|0)

 

4.

 

Dabei ist rot f(x) und blau die Inverse dazu. Grün ist die erste Winkelhalbierende...daran wird ja gespiegelt um die Umkehrfunktion zu erhalten ;).

 

5.

f(x) = (2x-5)/(x-3) = y

y und x vertauschen, dann nach y auflösen.

(2y-5)/(y-3) = x   |*(y-3)

2y-5 = xy-3x       |-xy+5

2y-xy = -3x+5   

y(2-x) = 5-3x       |:(2-x)

y = (5-3x)/(2-x)

 

Grüße

Comments

b) f(x)= -1/2x2+3x-5/2

1. Schränken Sie den Def. Bereich von f so  ein das die Funktion umkehrbar ist. + Scheitelpunktform

2. Bestimme die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von f

3. Zeichnen Sie beide Graphen

4. Bestimmen die den Definitions- und Wertebereich beider Funktionen.

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b) Vgl. auch https://www.mathelounge.de/115063/umkehrfunktionen-bestimmen-a-f-x-2x-2-8x-8-b-f-x-1-2x-2-3x-5-2

Answer 2

1)

f ( x ) = ( 2 x - 5 ) / ( x - 3 )

Definitionslücke bei x = 3

also:

D = R \ { 3 }

 

2)

lim _{x -> ∞}  = ( 2 x - 5 ) / ( x - 3 )

= lim _{x -> ∞}  = ( 2 - 5 / x ) / ( 1 - 3 / x  )

= 2

 

lim _{x -> - ∞}  = ( 2 x - 5 ) / ( x - 3 )

= lim _{x -> - ∞}  = ( 2 - 5 / x ) / ( 1 - 3 / x  )

= 2

 

Asymptoten:

y = 2

x = 3

 

3)

Schnittpunkt S_x mit x-Achse:

f ( x ) = ( 2 x - 5 ) / ( x - 3 ) = 0

<=> 2 x - 5 = 0

<=> 2 x = 5

<=> x = 5 / 2

=> S_x (  5 / 2 | 0 )

 

Schnittpunkt S_y mit x-Achse:

f ( 0 ) = ( 2 * 0 - 5 ) / ( 0 - 3 ) = - 5 / - 3 = 5 / 3

=> S_y = ( 0 | 5 / 3 )

 

4)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x-5%29%2F%28x-3%29from-4to8

 

5)

y = ( 2 x - 5 ) / ( x - 3 )

Auflösen nach x:

<=> 2 x - 5 = y ( x - 3 )

<=> 2 x - 5 = y x - 3 y

<=> 2 x - y x = - 3 y + 5

<=> x ( 2 - y ) = - 3 y + 5

<=> x = ( - 3 y + 5 ) / ( 2 - y )

Vertauschen der Variablen:

f ^-1 ( x ) = ( - 3 x + 5 ) / ( 2 - x )

Graph von f ( x ) und  f ^-1 ( x )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x-3%29%2F%28x-3%29%2C%28-3x%2B5%29%2F%282-x%29from-4to8

Comments

bei 1) bis 4) hast Du die Aufgabe ein wenig verschandelt.

Es ist (2x-5)/(x-3). Das hast Du erst bei 5) so berücksichtigt.

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Du hast recht, man sollte eben nicht nebenbei noch fernsehen :-)

Deine Antwort ist ohnehin besser, ich hab's dennoch (hoffentlich überall) korrigiert.

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b) f(x)= -1/2x2+3x-5/2


1. Schränken Sie den Def. Bereich von f so  ein das die Funktion umkehrbar ist. + Scheitelpunktform

2. Bestimme die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von f

3. Zeichnen Sie beide Graphen

4. Bestimmen die den Definitions- und Wertebereich beider Funktionen.

Vielen Dank schon mal.

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Vgl: https://www.mathelounge.de/115154/umstellen-und-berechnen-einer-funktion

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Selber denken verboten oder was?

https://www.mathelounge.de/115063/umkehrfunktionen-bestimmen-a-f-x-2x-2-8x-8-b-f-x-1-2x-2-3x-5-2


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