Komplexe Funktionen durch reelle Funktionen ausdrücken

Question

ich habe kürzlich mit meinem Physik-Studium begonnen und der Mathe-Schock sitzt mir noch tief in den Knochen. Ich habe ein paar Fragen zu den Rechenmethoden, Bereich Komplexe Zahlen.

a) Drücke i sin(it) und cos(it) (t ∈ ℝ ) durch reelle Funktionen aus.
b) Schreibe cos(a+ib) und sin(a+ib) in der Form x+iy (a, b, x, y ∈ ℝ )

Leider habe ich erstmal keine Idee, wie ich an die Aufgaben herangehen soll.

zu a)
Ich kenne die Euler'sche Form mit
e^it = cos(t) + i sin(t)
wobei t der Winkel, bzw. das Bogenmaß ist.
In kartesischen Koordinaten wäre
e^it = (cos(t), sin(t))

Ich würde also vermuten, dass es sich bei i sin(it) um den Imaginärteil handelt und bei cos(it) um den Realteil. Was aber muss ich anstellen, um die in Form einer reellen Funktion zu bringen. Vielleicht frage ich auch vorsichtshalber einmal, was eine reelle Funktion genau ist. Müssen die Komponenten nur aus ℝ sein?

zu b)
Gleiches Problem wie bei a). Ich weiß nicht, was ich hier machen muss, um die Angaben in die "normale" Darstellung der komplexen Zahlen zu bringen.

Ich danke euch schonmal im Vorfeld und wenn ihr Seiten oder Bücher kennt, wo ich mir die Anwendung der Rechentechniken hierzu mal anschauen kann, dann wäre ich euch sehr dankbar.

LG

Comments

$$\text{Meinst du sowas wie }i\cdot\sin it=-\frac12\left(e^t-e^{-t}\right)?$$

---

Das könnte gut sein, ich bin mir beider Aufgabenstellung ganz unsicher. Wie komme ich denn zu der Lösung und wie bekomme ich das i vom sin(it) weg?

Answer 1

$$\text{du hast } e^{ix}=\cos x+i\sin x\text{ und damit auch }e^{-ix}=\cos x-i\sin x.$$$$\text{Addition liefert }e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x.$$$$\text{Subtraktion liefert }e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x.$$$$\text{Nun musst du nur noch }x\text{ durch }it\text { ersetzen und halbieren.}$$