Reelle und komplexe Nullstellen bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie alle reellen und komplexen Nullstellen der Funktion: x⁴ - 71x² -810.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz: Polynomdivision mit x² + 10 (war in der Angabe gegeben) → x² - 81 = 0 → Reelle Nullstellen +/- 9. Meine Frage ist was jetzt die komplexen Nullstellen sind. +/- 9i ? (+/-\( \sqrt{-81} \) ). Wenn mir jemand helfen könnte wäre das optimal. Vielen Dank!

Answer 1

Nein, du musst noch die Nullstellen von x^2 + 10 =0 betrachten, dort hast du dann i*Wurzel(10) und - iWurzel10.

Verstehst du warum?

Comments

Vielen Dank für die Antwort, ich verstehe nicht ganz wieso ich jetzt das Divisorpolynom auch gleich null setze. Könnten sie das noch erläutern?

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Naja, wenn du das Ausgangspolynom betrachtest, dann hast du ja jetzt festgestellt, dass es sich in die Faktoren (x^2+10) * (x^2 - 81) umformen lässt. Wann ist dann dein Ausgangspolynom 0. Naja wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Also muss du auch dein fur die Polynomdivision eingesetztes Polynom 0 setzen und die Nullstelle berechnen.

Answer 2

Die komplexen Nullstellen sind $$\left\{-9,\:+9,\:-i\cdot\sqrt{10},\:+i\cdot\sqrt{10}\right\}$$

Answer 3

Hallo

a) Polynomdivision wäre nicht nötig gewesen, du könntest x^2=z setzen und die quadratische Gleichung lösen-

2. mit (x^2+10)*(x^2-81)=0 ist ja (x^2+10)=0 auch Lösung also ist richtig x=±√-10=±i*√10

dagegen folgt aus (x^2-81)=0 nur die 2 reellen Lösungen .

immer bei Polynomdivision , die aufgeht muss natürlich auch das Polynom  das ja ein Faktor ist 0 sein.

Gruß lula

Answer 4

\(x^4 - 71x^2 -810=0\)

\(x^4 - 71x^2 =810\)

\((x^2 - 35,5)^2=810+35,5^{2}=2070,25|\sqrt{~~}\)

1.) \(x^2 - 35,5=45,5\)

\(x^2 =81|\sqrt{~~}\)

\(x₁=9\)

\(x₂=-9\)

2.) \(x^2 - 35,5=-45,5\)

\(x^2 =-10=10i^2|\sqrt{~~}\)

\(x₃ =i*\sqrt{10}\)

\(x₄ =-i*\sqrt{10}\)

Answer 5

x^4 - 71·x^2 - 810 = 0

Subst. x^2 = z

z^2 - 71·z - 810 = 0

pq- Formel

z = 71/2 ± √((71/2)^2 + 810)

z1 = 81 → x1/2 = ± 9

z2 = -10 → x3/4 = ± √(-10) = ± √10·i