Aufstellen einer Funktionsgleichung. Korrekte Lösung?

Question

Folgendende Aufgabe:

Stellen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades auf.

Dabei sollen folgende Bedingungen dritten Grades erfüllt sein:

- Nullstelle: x_N= 4

- Koordinaten eines Extrempunktes: P_E(0;1)

- Wendestelle: x_W= 2

Meine Frage ist nun ob meine Lösung richtig ist, das ganze scheint mir ein wenig zu einfach:

 

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)= 6ax+2b

 

- Nullstelle: x_N= 4

f(4)=0

- Koordinaten eines Extrempunktes: P_E(0;1)

f'(0)=0

f(0)=1

- Wendestelle: x_W= 2

f''(2)=0

 

0=64a+16b+4c+d

0=0+0+c  --> c=0

1=0+0+0+d  -->d=1

0=12a+2b 

 

0=12a+2b |-12a

-12a=2b |:2

b=-6a

 

0=64a+16b+4c+d

64a-96a+1=0

-32a+1=0

32a=1

a=1/32

-->b =-3/16

 

f(x)=1/32x³-3/16x²+1

Answer 1

Sieht doch richtig aus. Tipp. Wenn du dir unsicher bist einfach mal den Grapen zeichnen.

Answer 2

Hi,


das sieht doch sehr gut aus. Bedingungen richtig ausgelesen. Richtig das Gleichungssystem aufgestellt und richtig gelöst ;).


Grüße

Answer 3

- Nullstelle: \(x_N= 4\)

- Koordinaten eines Extrempunktes: PE\((0|1)\)

- Wendestelle: \(x_W= 2\)

- Koordinaten eines Extrempunktes: PE\((0|1)\)

Da nun an der Wendestelle Punktsymmetrie vorliegt, muss die  Nullstelle: \(x_N= 4\) eine doppelte Nullstelle sein:

\(f(x)=a[(x-4)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x-8)(x-N)+(x-4)^2\cdot 1]\)

PE\((0|...)\)

\(f'(0)=a[8N+16]\)

\(a[8N+16]=0\)

\(N=-2\):

\(f(x)=a[(x-4)^2(x+2)]\)

PE\((0|1)\):

\(f(0)=a[(0-4)^2(0+2)]=32a=1\)

\(a=\frac{1}{32}\)

\(f(x)=\frac{1}{32}(x-4)^2(x+2)\)

Comments

Warum liegt an der Wendestelle Punktsymmetrie vor?

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Dies ist bei jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades so.

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Eben, diese Einschränkung sollte man nennen. Sonst ist es zumindest didaktisch fahrlässig.

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Aus:

https://www.mathe-seite.de/oberstufe/analysis-funktionsanalyse-grundlagen/symmetrie/

Ist eine Funktion symmetrisch zu irgendeinem Punkt mit den Koordinaten S\((a|b)\), so gilt die Formel:

\(f(a–x)+f(a+x) = 2 \cdot b\)

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Es geht nicht um die Frage, was Punktsymmetrie bedeutet, sondern um die Begründung, warum sie bei dieser Aufgabe gegeben ist.

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Didaktisch fahrlässig ist hier doch so einiges...

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Didaktisch fahrlässig ist hier doch so einiges...

Das nützt jetzt aber nichts! Was ist denn hier nun fahrlässig?

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Fahrlässig ist, dass Du durch die Formulierung den Eindruck erweckst, in jedem Fall sei ein Wendepunkt ein Punktsymmetrie-Punkt.

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Dies ist bei jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades so.

Das hat Apfelmännchen doch schon gesagt, er spricht aber noch von anderen Fahrlässigkeiten. Diese hätte ich gerne erläutert bekommen.

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Zunächst bin ich der Meinung, dass Aussagen, die sich auf eine bestimmte Aufgabe beziehen, nicht didaktisch fahrlässig sind, da ein Unwissender nicht ohne Weiteres von einem Spezialfall auf die Allgemeinheit schließen sollte.

Aber auch mir wurde schon didaktische Fahrlässigkeit vorgeworfen, weil ein Unwissender ja von einem Spezialfall der Aufgabe auf die Allgemeinheit schließen könnte.

Und zur Einordnung. Wenn Apfelmännchen von hier spricht, dann kann das "hier" alles Mögliche bedeuten

hier in deinem Beitrag, hier in der Mathelounge, hier im Internet, ...

Man sollte solche allgemein gehaltenen Aussagen nicht so ernst nehmen.

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da ein Unwissender nicht ohne Weiteres von einem Spezialfall auf die Allgemeinheit schließen sollte.

Aha, aber ein Unwissender sollte Deiner Meinung nach wissen, dass er nicht auf Allgemeingültigkeit schließen sollte?

Wer selbst unterrichtet, weiß, dass jeder anders denkt und man sich besser von eigenen Annahmen, wie der andere denkt und was er weiß, befreit. Angesagt wäre daher, das Niveau des FS zu ergründen und ihn da abzuholen, wo er steht. Wenn man das nicht will, dann sollten sowieso stets alle Annahmen und Voraussetzungen genannt werden. Das wäre didaktisch seriös, und wissenschaftlich sowieso. "Richtig gemeint" reicht eben nicht.

Ich empfehle den Helferaspekt hier ernster zu nehmen.

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Ich halte es allemal für guten Stil, sein Vorgehen zu erläutern und zu begründen. Insbesondere wenn die Angesprochenen potentiell zu den "Unwissenden" zählen.

Im übrigen gehört es zu meinen Erfahrungen (auch hier auf der ML), dass Lernende aus einer Lösung unter Umständen groteske "Vorgehensweisen" ableiten.

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Wenn Apfelmännchen von hier spricht, dann kann das "hier" alles Mögliche bedeuten

Um das aufzuklären: wenn ich von hier spreche, rede ich von der ML.

Man sollte solche allgemein gehaltenen Aussagen nicht so ernst nehmen.

Das ist ein typisches "Argument" von Leuten, die zu Recht kritisiert werden. Denn warum sollte man Kritik gegen einen selbst auch ernst nehmen? Dass es die entsprechenden Personen hier (auf der ML) nicht tun, ist mittlerweile hinlänglich bekannt.

Ich stimme daher dem Kommentar von nudger bedingungslos zu, vor allem:

Ich empfehle den Helferaspekt hier ernster zu nehmen.

Darum geht es doch den wenigsten hier, wie sie immer wieder zeigt. :)

Einen guten Rutsch und alles Gute für 2025.

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Über Kritik darf man gerne nachdenken, wenn sie persönlich und sachlich ist.

Äußerungen wie

Didaktisch fahrlässig ist hier doch so einiges...

sind weder persönlich noch sachlich und dürfen als das gesehen werden, was sie sind.