Mengen, einfachere Darstellung von X:=(A∩B)∪[(M\A)∪(M\B)]?

Question

Sei M eine nichtleere Menge, A, B c M. Geben Sie für die Menge
X:=(A∩B)∪[(M\A)∪(M\B)]

eine möglichst einfache Darstellung an.
Könnte es so sein? M vereinigt mit ( A durchschnitt B) ? sorry, die Zeichen oben hatte ich kopiert, haben sich aber jetzt in meinen Vorschlag komischerweise nicht kopieren lassen. Hoffe es weiss jeder was ich gemeint habe.

Comments

Ich würde das so rechnen:

X:=(A∩B)∪[(M\A)∪(M\B)]

=(A∩B)∪[(M\(AnB)]

= M

Answer 1

Hier etwas ausführlicher die Herleitung von

$$(A\cap B)\cup (M\setminus A\cup M\setminus B)=M$$

$$(A\cap B)\cup (M\setminus A\cup M\setminus B)$$Weil A und B Teilmengen von M sind:$$=\left\{ x|x\in M\wedge x\in A\wedge x\in B \right\} \cup \left( \left\{ x|x\in M\wedge x\notin A \right\} \cup \left\{ x|x\in M\wedge x\notin B \right\}  \right)$$$$=\left\{ x|x\in M\wedge x\in A\wedge x\in B \right\} \cup \left\{ x|x\in M\wedge (x\notin A\vee x\notin B) \right\}$$$$=\left\{ x|x\in M\wedge x\in A\wedge x\in B \right\} \cup \left\{ x|x\in M\wedge \neg (x\in A\wedge x\in B) \right\}$$$$=\left\{ x|x\in M\wedge [(x\in A\wedge x\in B)\vee \neg (x\in A\wedge x\in B)] \right\}$$$$=\left\{ x|x\in M\wedge True \right\}$$$$=\left\{ x|x\in M \right\}$$$$=M$$

Answer 2

Generell kann man es vereinfachen zu

(a ∩ b) ∪ (m \ a ∪ m \ b)

(a ∩ b) ∪ m

Wenn jetzt a und b Teilmengen von m sind dann lässt es sich noch weiter vereinfachen zu 

m

Male dir hierzu auch das Venn-Diagramm auf. Das hilft den Sachverhalt zu verstehen.

Comments

Da gibt's noch die Voraussetzung A, B c M.

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Ja ich weiß. nur das wollte wolramalpha nicht zeichnen :(