Limes, Definitionsbereich von der Funktion f: R-->R, f(x)= (e^x + e^{-x})/2

Question

Von der Funktion f: R-->R,  f(x) = (e^x + e^{-x})/2

sei bekannt, dass sie streng monoton wachsend ist auf  (0,∞)).

a) Berechnen sie lim x-->∞ f(x) und bestimmen sie f(0,∞).

b) Geben sie sie den Definitionsbereich und Bild der Umkehrfunktion f^-1 von f an. Berechne sie die Funktionsvorschrift von f^-1.

Comments

Meinst du nicht einen langen Bruchstrich. Also

Von der Funktion f: R-->R,  f(x)= (exp(x) + exp(-x))/2       

Das wäre dann der Kosinus Hyperbolicus. Dazu findest du alle Infos (inkl. Umkehrfunktion) hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus

Answer 1

f(x) = (e^x + e^{-x})/2

a) lim (x --> ± ∞) f(x) = ∞

b)

y = (e^x + e^{-x})/2

e^x + e^{-x} = 2·y

e^{2·x} - 2·y·e^x + 1 = 0

e^x = y ± √(y^2 - 1)

x = LN(y ± √(y^2 - 1))

Man findet also 2 Umkehrfunktionen. Diese werden getrennt notiert mit dem Bereich für den Sie gelten.