Berechnung über Bogenlänge:
Mit \( f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \) ist \( f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \), also
\( \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=\frac{e^{2 x}-2 e^{x} e^{-x}+e^{-2 x}}{4}=\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4} \)
Damit wird
\( \begin{aligned} 1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} &=1+\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4}=\frac{4+e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4} \\ &=\frac{e^{2 x}+2+e^{-2 x}}{4}=\frac{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}{4} \end{aligned} \)
Deshalb ist
\( \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}{4}}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \)
Folglich ergibt sich die Bogenlänge:
\( L=\int \limits_{0}^{1} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x=\int \limits_{0}^{1} \frac{e^{x} \textcolor{#F00}{+}e^{-x}}{2} d x=\left.\frac{e^{x} \textcolor{#F00}{-} e^{-x}}{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{e-e^{-1}}{2} \approx 1,1752 \)
Wiesoe wird bei dem rot markierten Teil (letzte Zeile) aus + plötzlich -?