Bogenlänge berechnen von f(x):=(e^x + e^{-x})/2

Question

Berechnung über Bogenlänge:

Mit \( f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \) ist \( f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \), also
\( \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=\frac{e^{2 x}-2 e^{x} e^{-x}+e^{-2 x}}{4}=\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4} \)

Damit wird

\( \begin{aligned} 1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} &=1+\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4}=\frac{4+e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4} \\ &=\frac{e^{2 x}+2+e^{-2 x}}{4}=\frac{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}{4} \end{aligned} \)

Deshalb ist

\( \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}}{4}}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \)

Folglich ergibt sich die Bogenlänge:

\( L=\int \limits_{0}^{1} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x=\int \limits_{0}^{1} \frac{e^{x} \textcolor{#F00}{+}e^{-x}}{2} d x=\left.\frac{e^{x} \textcolor{#F00}{-} e^{-x}}{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{e-e^{-1}}{2} \approx 1,1752 \)

Wiesoe wird bei dem rot markierten Teil (letzte Zeile) aus + plötzlich -?

Comments

Wie sieht eine Stammfunktion von \( e^{-x} \) aus?

Answer 1

Da wird doch nur die Stammfunktion gebildet. Also die Umkehrung der Ableitung. Wie die Ableitung gebildet wird sieht man in der ersten Zeile. Also kehrt sich beim Bilden der Stammfunktion auch nur das Vorzeichen um.

Comments

Aber wir setzen doch für die Bogenlänge x=1 (e¹+e^-1)/2 ein sodass ≈1,5 rauskommt

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Du bildest

F(1) - F(0) = ((e^1 - e^{-1})/2) - ((e^0 - e^{-0})/2) = (e^2 - 1)/(2·e) = 1.175201193