Kegel mit Tomatensaft: kelchförmiges Glas hat die Gestalt eines Kegels mit dem Durchmesser 6,6cm und der Höhe 9,7 cm.

Question

Ein kelchförmiges Glas hat die Gestalt eines Kegels mit dem Durchmesser 6,6cm und der Höhe 9,7 cm. Dorothee hat es randvoll mit Tomatensaft gefüllt und trinkt jetzt vom Saft. Das Glas kann dabei auf verschiedene Weisen noch halb voll sein. Untersuche folgende Fragen:

a und b habe ich, aber den Rest nicht, die Lösungen von a und b tehen dahinter in Klammern und wenn ich die aufgaben nicht habe, habe ich ein Problem deswegen bitte schnelle Hilfe und danke im Voraus. Ich schreibe trotzdem alle Aufgaben:

a) Wie viel Prozent des Rauminhaltes des Glases sind noch gefüllt, wenn das Glas noch bis zur halben Höhe gefüllt ist? (12,5 %)

b) Wie hoch steht der Saft, wenn der halbe Rauminhalt des Glases gefüllt ist? (2,62 cm)

c) Wie hoch steht der Saft im Glas, wenn der Durchmessr des Flüssigkitsspiegelss auf die Hälfte abgenommen hat?

d) Wie viel Prozent des Rauminhaltes des Glases sind noch gefüllt, wenn der Flächeninhalt des Flüssigkeitsspiegels auf die Hälfte abgenommmen hat?

e) Wie hoch steht der Saft, wenn die halbe Mantelfläche von Flüssigkeit bedeckt ist?

Comments

Ich auch nicht

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Hilft mir sehr weiter Danke ;) (facepalm)

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Ok ich habe es mit der Hilfe eines Kassenkameraden jetzt doch noch hin gekriegt aber trotzdem Danke :))

Answer 1

Gegeben:

- Kegel mit d = 6,6 cm und h = 9,7 cm

Vorab ermittelte Kegelwerte per Kegelrechner online:

Radius = 3,3
Durchmesser = 6,6
Höhe = 9,7
Mantellinie = 10,246
Umfang = 20,735 = 6,6·π
Grundfläche = 34,212 = 10,89·π
Mantelfläche = 106,223 = 33,812·π
Oberfläche = 140,435 = 44,702·π
Volumen = 110,619 = 35,211·π
Steigung von s = 71,211° = 1,243 rad
Halber Öffnungswinkel = 18,789° = 0,328 rad
Mittelpunktswinkel = 115,948° = 2,024 rad

Lösungen: 

Vorab sei erwähnt, dass Radius = d/2 = 3,3 cm

a) Wie viel Prozent des Rauminhaltes des Glases sind noch gefüllt, wenn das Glas noch bis zur halben Höhe gefüllt ist? 

Halbe Höhe berechnen: h/2 = 9,7 cm/2 = 4,85 cm

Ebenfalls muss der neue Radius in dieser Höhe ermittelt werden. Dies erfolgt z. B. über den halben Öffnungswinkel φ:

tan(φ) = r₂ / (h/2)
tan(φ) · (h/2) = r₂
tan(18,789°)·(4,85 cm) = r₂
r₂ = tan(18,789°)·4,85 cm
r₂ = 1,65 cm  ← Wie wir sehen ist dies der halbe Radius, also 3,3 cm / 2.

Kegelvolumen für den kleinen Kegel (halbe Höhe):

V_h2 = ¹/₃·π·r²·h
V_h2 = ¹/₃·π·(1,65 cm)²·(4,85 cm) ≈ 13,827 cm³

Verhältnis p = V_h2 / V_voll
p = 13,827 cm³ / 110,619 cm³ = 12,5 %

Deine Antwort ist korrekt.

Alternativ kannst du auch den Zusammenhang zwischen Radius und Höhe aufstellen: r/h = 3,3/9,7 = 33/97 ≈ 0,34021 und damit r = 33/97 · h

Das musst du jetzt in die Volumenformeln für r einsetzen:

V = ¹/₃·π·r²·h

V = ¹/₃·π·(33/97·h)²·h

V = ¹/₃·π·(33/97·h)²·h  | h = 4,85 cm einsetzen

V = ¹/₃·π·(33/97·4,85)²·4,85 cm³

V ≈ 13,827 cm³

b) Wie hoch steht der Saft, wenn der halbe Rauminhalt des Glases gefüllt ist?

Halbes Volumen V_halb = 110,619 cm³ / 2 = 55,3095 cm³

Wir hatten in Aufgabe a einen Zusammenhang zwischen Volumen und Höhe ermittelt, diesen nutzen wir jetzt:

V = ¹/₃·π·r²·h      | r = 33/97·h

V = ¹/₃·π·(33/97·h)²·h

V = ¹/₃·π·(33/97)²·h²·h

V = ¹/₃·π·²⁵/₂₁₆·h³

V = ²⁵/₆₄₈·π·h³

648·V / (25π) = h³    | V = 55,3095 cm³

648·(55,3095 cm³) / (25π) = h³    | 3. Wurzel

h = ³√456,336132044951034

h ≈ 7,7 cm

Deine Antwort mit 2,62 cm ist nicht korrekt. Der Kegel hätte dann eine andere Form.

c) Wie hoch steht der Saft im Glas, wenn der Durchmesser des Flüssigkeitsspiegels auf die Hälfte abgenommen hat?

r = 33/97·h

Wird der Durchmesser halbiert, so halbiert sich auch der Radius. r₃ = 3,3 cm / 2 = 1,65 cm

1,65 cm = 33/97·h

h = 4,85 cm

d) Wie viel Prozent des Rauminhaltes des Glases sind noch gefüllt, wenn der Flächeninhalt des Flüssigkeitsspiegels auf die Hälfte abgenommen hat?

Hier ist die Kegelgrundfläche gemeint und das Volumen (im Anteil) gesucht.

G_K = π·r² = 34,212 cm²

Halbiert:

G₂ = 17,106 cm²

Damit erhalten wir den Radius:

G = π·r²

17,106 cm² = π·r²

17,106 cm² / π = r²

r ≈ 2,3335 cm

Jetzt nutzen wir wieder unser h-r-Formel:

r = 33/97·h

2,3335 cm = 33/97·h

h ≈ 6,8591 cm

Neues Volumen dieses Kegels bestimmen:

V_G2 = ¹/₃·π·r²·h   | Werte für h und r einsetzen

V_G2 = ¹/₃·π·(2,3335 cm)²·(6,8591 cm)
V_G2 = 39,1121 cm³

Verhältnis p = V_G2 / V_voll
p = 39,1121 cm³ / 110,619 cm³ = 35,3575 %

e) Wie hoch steht der Saft, wenn die halbe Mantelfläche von Flüssigkeit bedeckt ist?

M = r·s·π   | s = √(h²+r²)

M = r·√(h²+r²)·π    | r = 33/97·h

Schaffst du die alleine? =)

Tipp: Wenn du beim Kegelrechner online deine ermittelten Werte einsetzt, kannst du jedes Mal prüfen, ob du richtig liegst. Wie: Da das Glas seine Form nicht ändert, muss der halbe Öffnungswinkel stets der gleiche sein, und zwar bei allen Aufgaben. Er beträgt 18,789°.

Comments

Es sei auch auf die sehr gute Antwort von Der_Mathecoach bei einer ähnlichen Aufgabe verwiesen: Wie viel Martini befindet sich im Sektglas?

Zitat:

Das Gesamtvolumen ist V_G = 1/3 * G * H = 1/3 * pi * r² * h

Wird es bis zur halben höhe gefüllt ist die Höhe nur noch halb so groß und auch der Radius ist halb so groß.

V = 1/3 * G * H = 1/3 * pi * (r/2)² * (h/2) = 1/8 * 1/3 * pi * r² * h = 1/8 * V_G

Es befindet sich also 1/8 des Gesamtvolumens im Glas.


Daraus ergibt sich für Aufgabe a) 1/8 des Volumens und damit 12,5 %