Untervektorraum von Q^3

Question

ich habe eine Frage bezüglich:

M3 = {(x,y,z)∈ℚ³ | x²-y=0 <=> x²=y

Ist M3 ein Untervektorraum von ℚ³?

Meine Vermutung:

1.) M3 ist nicht leer da der Nullvektor enthalten ist

2.) Abgeschlossene Addition:

Sei U₁=(x₁,y₁,z₁,) und U₂=(x₂,y₂,z₂) ∈ M3 mit U₁= x₁² = y₁ und U₂= x ₂²=y₂

Zur zeigen ist: U₁ + U₂ ∈ M3

U₁+U₂=(x₁+x₂)²=  (y₁+y₂₎

Da oben ja definiert wurde das y₁=x₁² ist und y₂=x₂ ² ist kann man schreiben:

(x₁+x₂)²=(x₁+x₂)² ist.

Wäre damit beweisen das die Addition abgeschlossen ist?

Weil würde ich die Vektoren a=(1,1,0) und b=(2,4,0) nehmen würde ja herauskommen:

(1+2)²=(2+4)   <=> 9 ≠ 5

aber was habe ich dann bei der allgemeinen Aussage falsch gemacht?

Answer 1

Nein wäre es nicht, denn die Menge ist nicht additiv abgeschlossen. (-1,1,0) und (1,1,0) sind Elemente der Menge deren Summe (0,2,0) ist es nicht. Das Quadrat in der Definition ist ein starker Hinweis darauf, dass hier kein unterraum gegeben ist.

Comments

Hm aber die Rechnung im allgemeinen ist doch richtig oder?

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Ich sehe in deinem Post keine wirkliche Rechnung. Die Behauptung $$(x_1+x_2)^2=y_1+y_2$$ allerdings ist falsch. denn $$(a+b)^2=(a^2+b^2)$$ (sog. Freshmen's dream) ist im Allgemeinen falsch.

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Ah ok aber wie beweise ich das denn ohne ein Beispiel zu verwenden? Geht das überhaupt?

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Man widerlegt eine Aussage durch ein Gegenbeispiel. Und hier wird nicht bewiesen sondern widerlegt. Beweis durch Beispiel geht natürlich nicht.