Wertebereich bestimmen einer Bruchfunktion

Question

Hey ihr,

ich knobel aktuell an folgender Aufgabe. Ich habe folgende Funktion gegeben.

\( g(x)=\frac{3 x^{4}-8 x^{3}+2 x^{2}-3 x+6}{x^{4}+3 x^{2}-4}+\frac{(3 x-6)^{2}}{x^{2}-4 x+4} \)

zu dieser Funktion bräuchte ich den Wertebereich.
Hat jemand von euch eine Ahnung wie ich den bestimmen kann?
Den Definitionsbereich habe ich schon.

Gruß sugar

Comments

Hi,

ich bin jetzt zu faul das alles zu faktorisieren. So aber würde ich rangehen.

Dann wirst Du erkennen, dass es Polstellen gibt (eine glaube ich). Das heißt der Wertebereich kann schonmal großzügig als W = ℝ angegeben werden.


Ich weiß nicht, bei mir hat das glaube ich immer gereicht. Man könnte eventuell aber genauer werden. Zum Beispiel die waagerechte Asymptote bestimmen (eine solche müsste es geben). Der y-Wert wird eventuell (es wäre möglich) nie erreicht und kann aus der Wertemenge ausgenommen werden. Es werden allerdings nur einzelne Werte sein, die rausgenommen werden können.


Grüße

Answer 1

(3·x^4 - 8·x^3 + 2·x^2 - 3·x + 6)/(x^4 + 3·x^2 - 4) + (3·x - 6)^2/(x^2 - 4·x + 4)

(x - 1)·(3·x^3 - 5·x^2 - 3·x - 6) / ((x + 1)·(x - 1)·(x^2 + 4)) + 9·(x - 2)^2 / (x - 2)^2

(3·x^3 - 5·x^2 - 3·x - 6) / ((x + 1)·(x^2 + 4)) + 9

(3·x^3 - 5·x^2 - 3·x - 6) / (x^3 + x^2 + 4·x + 4) + 9

(3·x^3 - 5·x^2 - 3·x - 6) / (x^3 + x^2 + 4·x + 4) + 9

3 - (8·x^2 + 15·x + 18)/(x^3 + x^2 + 4·x + 4) + 9

12 - (8·x^2 + 15·x + 18)/(x^3 + x^2 + 4·x + 4)

Der Bruch kann ja nicht Null werden. Daher ist 12 nicht im Definitionsbereich. Ansonsten ist die Faktorzerlegung des Nenners wie oben zu sehen (x + 1)·(x^2 + 4). Also haben wir eine Polstelle bei x = -1. Da dies eine einfache Nullstelle ist ist das eine Stelle mit Vorzeichenwechsel und der Graph geht sowohl gegen plus als auch gegen minus unendlich.

W = R \ {12}

Comments

Abend Mathecoach,

Es müsste mehr als y = 12 sein, was verboten ist. Zumindest muss man die Definitionslücken anschauen.

Ich vermute, dass es für x = 1 und x = 2 zwar hebbare Definitionslücken (hebbar, ja, aber Lücken) gibt, diese aber den y-Wert nicht annehmen können ;).

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Also der Definitions Bereich hat Lücken bei -1, 1 und 2.

der Wertebereich bei 8,???
Und noch 2 weitere.
Soviel weiß ich schon.

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Genau, das sind die Definitionslücken: Also der Definitions Bereich hat Lücken bei -1, 1 und 2.


Und da sollte man von jedem den y-Wert berechnen um festzustellen, ob der y-Wert an anderen Stellen erreicht werden kann. Dann könnte man diese y-Werte auch noch ausschließen ;).


Habe es gerade mal gemacht. Wenn ich nicht vertan habe gilt:

W = ℝ\{7,9; 26/3; 12}

(26/3 sind etwa 8,667)


Also genau das was Du genannt hattest ;).


Die Aufgabe sollte damit also erledigt sein.