Mehrstufige Zufallsversuche/Baumdiagramme

Question

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe


1. Eine Urne enthält 4 weiße Kugeln, 3 blaue Kugeln und 1 rote Kugel.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim dramaligen Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen drei verschiedenfarbige Kugeln zieht?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim dreimaligen Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen drei verschiedenfarbige Kugeln zieht?

c) Wie oft muss man aus der Urne eine Kugel mit Zurücklegen ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel ziehen, mindestens 80% beträgt?

Answer 1

a)

( 4 / 8 ) * ( 3 / 8 ) * ( 1 / 8 ) = 12 / 512 ≈ 0,0234 = 2,34 %

b)

P(WBR) + P(WRB) + P(BRW) + P(BWR) + P(RWB) + P(RBW)

= ( 4 / 8 ) * ( 3 / 7 ) * ( 1 / 6 ) + ( 4 / 8 ) * ( 1 / 7 ) * ( 3 / 6 ) + ( 3 / 8 ) * ( 1 / 7 ) * ( 4 / 6 ) + ...

= 6 * ( 4 * 3 * 1 ) / ( 8 * 7 * 6 )

≈ 0,2143 = 21,43 %

c)

P(bei n-maligem Ziehen mindestens eine Blaue) > 0,8

<=> P(bei n-maligem Ziehen keine Blaue) < 0,2

Die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen keine Blaue zu ziehen, ist 5 / 8 . Also ist die Wahrscheinlichkeit, bei n-maligem Ziehen keine Blaue zu ziehen, ( 5 / 8 ) ⁿ.

Daher:

<=> ( 5 / 8 ) ⁿ < 0,2

<=> log ( 5 / 8 ) ⁿ  = log ( 0,2 ) 

<=> n * log ( 5 / 8 ) = log ( 0,2 )

<>= n = log ( 0,2 ) /  log ( 5 / 8 ) ≈ 3,42

Man muss also mindestens 4 mal ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80 % eine Blaue zu ziehen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Ich habe eine Frage bei 1b wieso muss man bei der Endrechnung 8 * 7 * 6 rechnen?

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Warum bei a nicht mal 6 es gibt doch 6 verschiedenen rheinfolgemoglichkeiten

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Ja. Aufgabe a) wurde hier verkehrt gerechnet.

Answer 2

1. Eine Urne enthält 4 weiße Kugeln, 3 blaue Kugeln und 1 rote Kugel.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim dreimaligen Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen drei verschiedenfarbige Kugeln zieht?

6 * 4/8 * 3/8 * 1/8 = 9/64 = 0.1406

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim dreimaligen Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen drei verschiedenfarbige Kugeln zieht?

6 * 4/8 * 3/7 * 1/6 = 3/14 = 0.2143

c) Wie oft muss man aus der Urne eine Kugel mit Zurücklegen ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel ziehen, mindestens 80% beträgt?

1 - (1 - 3/8)^n ≥ 0.8 --> n ≥ 4