Aufgabe zur Ableitung...?

Question

kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären: Gegeben ist die Funktion f. Wie muss cer gewählt werden, dass f keine, eine oder zwei Extremstellen besitzen kann? Sind immer alle drei Fälle möglich? a) f (x)= -x^3 + x^2 + cx- vielen dank schonmal im Voraus :-)

Answer 1

Da Extremstellen gefragt sind, muss man dazu das notwendige Kriterium f'(x) = 0 aufstellen.

f'(x) = -3*x² + 2*x - c -> -3*x² + 2*x - c = 0 Das ist eine quadratische Gleichung mit a = -3, b = 2 und c = -c, deren Lösungen von der Diskriminante abhängen.

Diskriminante D = b² -4*a*c = 2² -4*(-3)*(-c) = 4 -12c

Für D = 0 gibt es nur eine Lösung und demnach nur eine Extremstelle: 4 -12c = 0 -> c= 1/3

Für D > 0 gibt es zwei Lösungen und demnach zwei Extremstellen: 4 -12c > 0 -> c < 1/3

Für D < 0 gibt es keine Lösungen und demnach keine Extremstellen: 4 -12c < 0 -> c > 1/3