Haushaltsoptimum mit Lagrangefunktion

Question

Hallo.
Ich soll das haushaltsoptimum mithilfe des lagrange-verfahren ermitteln. Ich habe allerdings nur variabeln gegeben. Keine zahlen.

u= q^alpha x r^beta

c

p1

p2


dann habe ich so weit die lagrange funktion ermittelt:
L=q^alpha x r^beta + lambda x (c-p1-p2)

wie leite ich jetzt partiell nach q und r an wenn ich da als hochzahl alpha und beta stehen habe?

Answer 1

Pass mal meine folgende Rechnung an deine Unbekannten an

 

Nutzenfunktion U(x, y) = x^a·y^b

Preis für x ist p

Preis für y = q

Budget m

Nebenbedingung: px + qy = m
y = m/q - p·x/q

Lagrange Funktion: L = x^a·y^b - k*(px + qy - m)

L / dx = a·x^{a - 1}·y^b - k·p = 0 | NB einsetzen
a·x^{a - 1}·(m/q - p·x/q)^b - k·p = 0
k = a·x^{a - 1}·((m - p·x)/q)^b/p

L / dy = x^a·b·y^{b - 1} - k·q = 0 | NB und k einsetzen
x^a·b·(m/q - p·x/q)^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·((m - p·x)/q)^b/p)·q = 0
x = a·m/(p·(a + b))

y = m/q - p·x/q
y = m/q - p·(a·m/(p·(a + b)))/q
y = b·m/(q·(a + b))

Comments

Ich muss sagen ich kapiere das nicht. Also für Lambda verwendest du k, machst davor aber ein Minus statt ein plus.
Kannst du mir sagen, ob denn mein Ansatz stimmt und was ich dann machen muss? Also konkreter. Das ist keine Hausaufgabe ich lerne nur fürs Studium also ist es nicht schlimm, wenn du mir die Lösung für die partielle ableitung gibst und es erklärst. So bin werde ich nur verwirrt. :/

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Dafür sind meine Werte in der Klammer auch negiert. Bitte schau doch zunächst mal nach wie das wohl kommt. Es lassen sich ja Gleichungen auf viele verschiedene Weisen aufstellen.

Letztendlich wäre es ohnehin egal ob man vor das k nun ein plus oder minus schreibt. Weil die Lösung von k ja eh nicht interessiert.

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Also dass ich plus Lambda mache und alle Vorzeichen in der Nebenbedingung bei mir negativ sind ist nicht falsch,oder?

die andere Frage: ich leite also ganz normal ab, also nach p zB alpha*p^{alpha-1}?

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Das ist nicht falsch. Du kannst ja auch ein minus ausklammern und kast dann den gleichen Term wie ich. Also nur mit anderen Unbekannten. Ja du leitest ganz normal ab. Aber dazu schaue bitte meine Lösung an. Da steht ja alles.

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Okay. Danke vielmals. Das einzige was ich noch immer nicht verstehe ist: wie kommst du auf m/q-px/q für y und warum machst du das überhaupt?

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Man löse die Nebenbedingung 

px + qy = m 

einfach nach y auf. Das nutzt man damit man es ggf. in der Gleichung ersetzen kann.

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Muss man das machen? Ich habe die Nebenbedingung noch nie nach etwas aufgelöst, sondern einfach die partiellen Ableitungen gebildet und dann nach Lambda umgestellt

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Kannst ja mal schauen ob das auch nach deiner Methode geht.

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Ja also das wäre bei mir

L/dx= alpha*x^{alpha-1} * y^beta - Lambda*px

dann

lambda= alpha*x^{alpha-1}*y^beta/px


stimmt das nicht?

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Doch so ist das erstmal richtig. Aber du willst letztendlich die Mengen haben die das Nutzenmaximale Güterbündel liefern oder nicht?

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Aber das kriege ich wenn ich beide lamdbas gleichsetze und x und y in L/dlamdba einsetze oder nicht?

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Probier es doch einfach aus. Wenn du auf das gleiche Ergebnis kommst wie ich und deine Lösung einfacher ist dann lass es mich wissen. Ich habe das nur nach einem Schema von einem Prof gemacht. Aber manchmal führen ja mehrere Wege zum Ziel.

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Ich bin jetzt echt verwirrt.
Ich habe einfach mal mit meiner Methode beide Lambda gleichgesetzt.
Und kriege raus:

alpha*x^{alpha-1} * y^beta * qy = x^alpha * Beta*y^{beta-1} * px

alpha*x^{alpha-1} *q*2y^beta = p*2x^alpha * Beta*y^{beta-1}

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Ich bitte  um Hilfe. :/

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Wobei brauchst du genau hilfe? Ich habe doch exakt vorgemacht wie es zu lösen ist. Da brauchst du ja nur die Variablen ändern.
Natürlich kannst du es auch probieren sowie du denkst wie es gehen soll. Dann solltest du auf die gleiche Lösung kommen.

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Deshalb frage ich ja, ob der letzte Schritt, den ich jetzt gemacht habe, richtig ist.

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du hast in der ableitung px und py. das x und das y fallen aber in einer ableitung weg und haben dort nichts verloren. Und wenn du nach lamda auflöst müsste dort / p stehen und nicht mal p.