Ideal im Polynomring und Erzeugendes Element bestimmen :)

Question

Hallo :) Kann wer behilflich sein und mir das erklären?

(a) Sei \( K \) ein Körper, \( n \in \mathbb{N} \) und sei \( A \in \operatorname{Mat}(n \times n, K) . \) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ I(A):=\{f(X) \in K[X]: f(A)=0 \in \operatorname{Mat}(n \times n ; K)\} $$
ein Ideal im Polynomring \( K[X] \) ist, das ungleich dem Nullideal ist.

(b) Bestimmen Sie im Fall \( K=\mathbb{Q}, n=3 \) und
$$ A:=\left(\begin{array}{lll} {1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right) $$
ein erzeugendes Element von \( I(A) \)

Answer 1

Dass die Menge ein Ideal ist, lässt sich relativ leicht nachrechnen. Dass die menge nicht-leer ist folgt z.b. aus Caley-Hamilton. Bei der b) ist das minimalpolynom von A gesucht. Man kann auch zu Fuß so vorgehen: (X-1)² ist in i(A), (X-1) ist es nicht, ebenso ein anderes lineares Polynom. Das erzeugende Element muss minimalen grad haben, also 2. Damit muss (X-1)² Erzeuger sein.

Comments

Danke :) wie rechnet man ein ideal aus?

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Was meinst du mit: Wie rechnet man ein Ideal aus? Dieses idiom ist mir nicht bekannt.

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Das die menge ein ideal ist..wie nachrechnen?

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Indem man die Eigenschaften eines Ideals nachrechnet. Def. nachschlagen und nachrechnen. Oder habt ihr noch nie zeigen müssen, dass irgendwas eine Gruppe, Körper, injektiv ,stetig etc. ist?

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Nein :/ klöntest du mir zeigen wie man das nachrechnet? Also nur wenn du zeit haben solltest natürlich

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Ich schau mir gern deinen Beweis dazu an. Den selber hier zu schreiben hab ich keinen Bock.

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1. Eigenschaft ist ja 0∈I
seh ich durch f(A)= 0 dass das stimmt?

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Weil heut Muttertag ist: 0 ist in I, denn die 0 aus K[X], das Nullpolynom, gilt 0(A)=0.

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Oke danke

lasse das mal sein, kann es einfach nicht. Wüsste auch nicht wie es mit der 2. und 3. Eigenschaft machen soll. Raten bringt ja auch nichts

danke das du dir Zeit für mich genommen hast.

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Solche Eigenschaften nachrechnen ist absolut grundlegendes Handwerkszeug. Das lernt man i.d.R. ganz am Anfang des ersten Semesters. Schau dir nochmal die Aufgaben von dort an und übe diese. An solchen Aufgaben wie dieser hier lernt man das nicht. Der Beweis hier ist zwar kurz, aber konzeptuell anspruchvoller..