LGS Einsetzungsverfahren. Drei Unbekannte.

Question

an alle fleißigen Mathematiker ;)

Ich weiß nicht warum, aber zur Zeit bereiten mir Lineare Gleichungssysteme ein wenig Probleme! Dies kann auch dadurch bedingt sein, dass wir diese mit dem Einsetzungsverfahren lösen müssen.

Lange genug geredet, hier das Gleichungssystem:

I.    5x+2y-2z=-9

II.  -x+3y+3z=3

III. 2x-y-z=4

I.  x=-9/5 -2y/5 +2z/5

II. y=1+ 1/3 x -z

III. z=4-2x+y

Wie muss ich weiter vorgehen, sofern dies natürlich stimmt?

LG

Simon

Answer 1

5·x + 2·y - 2·z = -9
-x + 3·y + 3·z = 3
2·x - y - z = 4

Ich löse mal die II. Gleichung nach x auf und setzte sie dann in die I. und dei III. ein.

-x + 3·y + 3·z = 3
x = 3·y + 3·z - 3

5·(3·y + 3·z - 3) + 2·y - 2·z = -9
17·y + 13·z - 15 = -9
17·y + 13·z = 6

2·(3·y + 3·z - 3) - y - z = 4
5·y + 5·z = 10
y + z = 2

Ich schreibe sie nochmals hin

17·y + 13·z = 6
y + z = 2

Nun löse ich die II. Gleichung nach y auf und setze es in die I. ein

y + z = 2
y = 2 - z

17·(2 - z) + 13·z = 6
34 - 4·z = 6
z = 7

Nun rückwärts auflösen.

Übrigens finde ich das auch totalen Schwachsinn das über das Einsetzverfahren zu lösen.

Comments

Du hattest ja hier eine konkrete Vorgehensweise: Könntest du auch dies verallgemeiern, damit man dies auf alle LGS solcher Katagorien anwenden kann? Zum Beispiel. 1. nach x auflösen 2....... Bei mir ist das Problem, dass ich immer zwei Variablen im Spiel habe. Egal was ich mache und einsetze, ich komme nie auf eine Unbekannte um zu elimieren...

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Du löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und ersetzt dadurch in allen weiteren Gleichungen diese Unbekannte durch den gefundenen Term.

Du erhältst ein LGS mit einer Gleichung und einer Unbekannten weniger.
Jetzt kannst du das System rekursiv mit dem neuen LGS machen.

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Genau sowas wollte ich hören! :) Ich werde noch ein paar Aufgaben dazu machen, wobei mir das Additionsverfahren lieber wäre, oder auch Gauß-Verfahren. Ich erkenne zwischen Gauß- und Additionsverfahren keine großen Unterschiede, aber gut. Nun kann ich den Stern vergeben! :)

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Wie ich immer sage kann das Gauss-Verfahren nicht von Gauss stammen. Gauss war in fähiger Mathematiker. Der hätte Gleichungen nie unnötig mehrfach aufgeschrieben.

Ich nenne das Verfahren Additionsverfahren und was Lehrer zum Gauss erzählen sollte man schleunigst vergessen. Das mag für den Einsatz von Rechenmaschinen sinnvoll sein. aber zum händisch lösen sicher nicht :)

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Wenn du das sagst, glaube ich das auch! :)

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Nochmal kurz zu dem Gleichungssystem: Du hast von II. x berechnet und in I. sowie III. eingesetzt. Dann hast du zwei Gleichungen hingeschrieben (I. und III.) und diese dann gelöst. Was ist mit II. passiert?

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Ich löse das LGS mal mit meinem Additionsverfahren

5·x + 2·y - 2·z = -9
-x + 3·y + 3·z = 3
2·x - y - z = 4

I + 2III, II + 3III

9·x - 4·z = -1
5·x = 15 --> x = 3

Nun rückwärts auflösen

9·3 - 4·z = -1 --> z = 7

2·3 - y - 7 = 4 --> y = -5

Fertig.

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Die zweite Gleichung wird nach dem Einsetzen nur noch später für das rückwärts auflösen verwendet. Daher braucht die nicht immer mit notiert werden.

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Gut das mal gehört zu haben! Wie gesagt, durch meinen mageren Vorkenntnissen muss ich viel nachfragen!