Wie löse ich nach x bzw. nach y auf?

Question

wie löse ich diese Gleichungen nach x  auf? 

Ich komme da echt nicht weiter... 

 

1.) ( e^2x / 2 ) - 6e^x = -8 

 

Ich weiß nicht, wie ich das mit dem e^x mache... 

 

2.) -cos²(y) + sin²(y) +4sin(y) = -3 

 

Hier funktioniert leider nicht das Additionstheorem, weil das Minus vor dem cos stört...

 

Greets

Comments

Du kannst jeweils substituieren:

a)

e^x=z

(1/2)z^2-6z+8=0

 b)

cos^2(y)= 1-sin^2(y)

sin^2(y)=z

-(1-sin^2(y))+sin^2(y)-4sin(y)+3=0

Answer 1

Die Lösungen beider Gleichungen laufen auf das Lösen von quadratischen Gleichungen hinaus:

$${ \frac { { e }^{ 2x } }{ 2 } -6{ e }^{ x }=-8 }$$$$\Leftrightarrow { { e }^{ 2x }-12{ e }^{ x }=-16 }$$$$\Leftrightarrow { { e }^{ 2x }-12{ e }^{ x }+{ 6 }^{ 2 }={ 6 }^{ 2 }-16 }=20$$$$\Leftrightarrow { \left( { e }^{ x }-6 \right)  }^{ 2 }=20$$$$\Leftrightarrow { e }^{ x }-6=\pm \sqrt { 20 }$$$$ \Leftrightarrow { e }^{ x }=6\pm \sqrt { 20 }$$$$ \Leftrightarrow { x }=\ln { \left( 6\pm \sqrt { 20 }  \right)  }$$$$\Leftrightarrow x=0,42387...\vee x=2,348718...$$

$$ -\cos ^{ 2 }{ \left( y \right)  } +\sin ^{ 2 }{ \left( y \right)  } +4\sin { \left( y \right)  } =-3$$Es gilt: sin ² ( y ) + cos ² ( y ) = 1 <=> - cos ² ( y ) = sin ² ( y ) - 1$$\Leftrightarrow \sin ^{ 2 }{ \left( y \right)  } -1+\sin ^{ 2 }{ \left( y \right)  } +4\sin { \left( y \right)  } =-3$$$$\Leftrightarrow 2\sin ^{ 2 }{ \left( y \right)  } +4\sin { \left( y \right)  } =-2$$$$\Leftrightarrow \sin ^{ 2 }{ \left( y \right)  } +2\sin { \left( y \right)  } =-1$$$$\Leftrightarrow \sin ^{ 2 }{ \left( y \right)  } +2\sin { \left( y \right)  } +1=0$$$$\Leftrightarrow { \left( \sin { \left( y \right)  } +1 \right)  }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow \sin { \left( y \right)  } +1=0$$$$\Leftrightarrow \sin { \left( y \right)  } =-1$$$$\Leftrightarrow y=-\frac { \pi  }{ 2 } +n*2\pi ,\quad n\in Z$$