Nullstellen näherungsweise berechnen mit dem Bisektionsverfahren. Wie funktioniert das?

Question

ich sitze gerade an meinen Mathehausaufgaben und komme leider nicht weiter, weil ich das Bisektionsverfahren noch nicht so richtig verstanden habe.

Vielleicht kann mir das ja jemand erklären, ich wäre sehr dankbar.

Ich hab die Funktion f(x)= x^5-6x+4,5 , im Intervall (0,8; 0,9) und im Intervall (1,2; 1,3) besitzt die Funktion eine Nullstelle. Dies soll ich nachweisen und die Nullstellen anhand des Bisektionsverfahren mit einem Fehler kleiner als 0,008 berechnen.

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Lieben Dank schonmal :)

Answer 1

unter Bisektionsverfahren verstehe ich folgendes.

Sei  a < b  sowie  f(a) < 0  und  f(b) > 0  (d.h. es existiert nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle von  f  zwischen  a  und  b , falls  f  stetig ist).
Setze  a₀ := a  und  b₀ := b.
Für  k > 0  setze
   a_k := a_k-1  und  b_k := (a_k + b_k)/2,  falls  f((a_k + b_k)/2) > 0
   a_k := (a_k + b_k)/2  und  b_k := b_k-1,  falls  f((a_k + b_k)/2) < 0
solange, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Auf diese Art und Weise wird das Intervall, das eine Nullstelle von  f  enthält, in jedem Schritt halbiert. Es gilt  f(a_n) < 0  und  f(b_n) > 0  für alle  n . Die  a_n  bilden eine monoton steigende und die  b_n  eine monoton fallende Folge. Beide konvergieren gegen eine Nullstelle. Für den Fall, dass  f(a) > 0  und  f(b) < 0 ist, wende das Verfahren auf  -f  an.

Answer 2

f(x)= x^5 - 6x + 4,5

Nachweis ist einfach

f(0,8) = 173/6250 ~ 0.02768
f(0.9) = - 30951/100000 ~ -0.30951

Wenn wir einen Funktionswert oberhalb der x-Achse und einen unterhalb der x-Achse haben muss es dazwischen bei einer stetigen Funktion mind. eine Nullstelle geben.

Nun macht man eine Wertetabelle von 0.8 bis 0.9 in der Schrittweite 0.01

0.8 → 0.02768
0.81 → -0.01132
0.82 → -0.04926
0.83 → -0.0861
0.84 → -0.12179
0.85 → -0.15629
0.86 → -0.18957
0.87 → -0.22158
0.88 → -0.25227
0.89 → -0.28159

Nun suchst du wieder den Übergang. D.h. einen Funktionswert ober halb und unterhalb der x-Achse und berechnest dann dieses Intervall erneut in einer kleineren Schrittweite. Hier also 0.8 und 0.81 mit Schittweite 0.001

0.8 → 0.02768
0.801 → 0.02373
0.802 → 0.0198
0.803 → 0.01587
0.804 → 0.01195
0.805 → 0.00805
0.806 → 0.00415
0.807 → 0.00027
0.808 → -0.00361
0.809 → -0.00747
0.81 → -0.01132

Theoretisch könnte man so das Intervall immer weiter verkleinern. So langt daqs aber schon und ich weiß die Nullstelle befindet sich zwischen 0.807 und 0.808. Da der Fehler bei 0.807 kleiner ist würde ich das als näherungsweise Nullstelle angeben.