f(x) = -x^3 - x^2 + 1
1) Überprifen Sie die Voraussetzung f(a)⋅f(b)<0 für das Bisektionsverfahren auf den
Intervallen [a,b]=[−1,0] bzw. [a,b]=[0,1]
f(-1) = 1 ; f(0) = 1 → f(-1)*f(0) = 1 > 0 → nicht erfüllt
f(0) = 1 ; f(1) = -1 → f(0)*f(1) = -1 < 0 → erfüllt
f(0) = 1 ; f(1) = -1
f(0.5) = 0.625 ; f(1) = -1
f(0.75) = 0.015625 ; f(1) = -1
Jetzt kann man die Nullstelle schon genähert mit 0.75 angeben.
3) Zeigen Sie, dass f außerhalb von [−1,1] keine Nullstelle besitzen kann.
Für positive h gilt sicher:
- (1 + h)^3 - (1 + h)^2 + 1 = - h^3 - 4·h^2 - 5·h - 1 < 0
- (-1 - h)^3 - (-1 - h)^2 + 1 = h^3 + 2·h^2 + h + 1 > 0
4) (Kür) Zeigen Sie, dass f außerhalb von [0,1] keine Nullstelle besitzen kann.
Du brauchst nur noch das Intervall [-1; 0] prüfen. Berechne eventuell ein lokales Extrema und zeige das auch das lokale Extrema > 0 ist.
