Wie kann ich diese Gleichung mit Wurzel, Doppelbrüchen und Potenzen lösen?

Question

Ich sitze an einer Übungsaufgabe für Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und bin so langsam aber sicher am verzweifeln - wer kann mir helfen? Ich weiß nicht, was ich rechnen soll.

Aufgabenstellung:

Zeige, dass der Bruch mit Wurzel auf der linken Seite gleich dem Term auf der rechten Seite ist.

$$ \frac { \frac { a ^ { 4 } · b ^ { 3 } } { u ^ { 2 } · v ^ { 3 } } · \sqrt { \frac { a ^ { 5 } · v ^ { 6 } } { a ^ { 3 } · v ^ { 2 } } } } { \left( \frac { a b } { u v } \right) ^ { 2 } } = a ^ { 3 } b v \quad ( a > 0 ) $$

Die Potenzregeln kenn ich soweit (Division von Potenzen → Exponenten miteinander subtrahieren) usw. Vielleicht kann mir jemand sagen, wie ich mich zurechtfinden kann.

Answer 1

Du musst den linken Term so lange umformen, bis der rechte Term rauskommt.

Umformen heisst immer wieder ganz abschreiben und schrittwese vereinfachen

Beginne mit der Wurzel. a hoch fünf lässt sich mit a hoch 3 kürzen v hoch 6 mit v hoch 2. Es bleibt oben a hoch 2 mal v hoch 4 unten 1 mal 1.

Was herauskommt, sieht so aus:

$$ \sqrt{\frac{a^5·v^6}{a^3·v^2}} = \sqrt{ \frac{a^2·v^4}{1·1} } $$

Dann kannst du aus jedem Faktor die Wurzel ziehen. Es bleibt oben a mal v hoch 2 und unten 1.

a a grösser ist als 0, brauchst du hier nicht  auch noch -a.


2. Schritt: unten ein Bruch; d.h. ausquadrieren

Dieser Bruch lautet oben a hoch 2 mal b hoch 2 und unten u hoch 2 mal v hoch 2


3. Schritt: Alles auf einen Bruchstrich

(Mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren)

Oben steht jetzt a hoch 4 mal b hoch 3 mal a mal v hoch 2 mal u hoch 2 mal v hoch 2

unten dazu: u hoch 2 mal v hoch 3 mal 1 mal a hoch 2 mal b hoch 2


4. Schritt: Umsortieren

Oben steht jetzt a hoch 5 mal b hoch 3 mal v hoch 4 mal u hoch 2
unten dazu: u hoch 2 mal v hoch 3 mal a hoch 2 mal b hoch 2


5. Schritt: Kürzen

Oben steht jetzt a hoch 3  mal b mal v

unten dazu: 1 mal 1 mal 1

Der Nenner ist jetzt 1 und überflüssig: Also bleibt der gesuchte rechte Term:
 a hoch 3 mal b mal v → a³ * b * v

Answer 2

Ausgehend von

((a^4 b^3)/(u^2 v^3)  *  Sqr[(a^5 v^6)/ (a^3 v^2)])  /  (((a*b)/(u*v))^2)  == (a^3)*b*v

komme ich zu dem Ergebnis

(b (a^2 v^4)^{3/2}) / v^5 = a^3 b v

Comments

Mit b = 0 ergibt sich für die Gleichung  0 = 0

Für die anderen Variablen (a und v) scheint es keine Lösung zu geben.

D.h., wenn b = 0 ist, dann ist die Gleichung immer erfüllt und die anderen Variablen

haben keinen Einfluß.

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a^2 b v = ( a b Sqrt[ a^2 v^4 ] ) / v