Ableiten mit der x-Methode, Aufgabe

Question

Könnte mir jemand erklären wie das geht, ich verstehe das nicht ganz. Ich habe hier zum Beispiel die Funktion f(x)=3x^2, (d.h  f ' (x)=6x; f '' (x)= 6; f ''' (x)=0), mit der x-Methode soll ich jetzt an der Stelle x0= 3 ableiten **(Was heißt das überhaupt? Ist das dann die dritte Ableitung?)**Ich habe das jetzt also so gerechnet (denkt euch den lim x->x0 vorne einfach immer) :

1) x0 berechnen:          f(x0)=f(3); x0 bzw. 3 habe ich dann in die erste Funktion eingesetzt         f(3)= 3*3^2; f(x0) ist also 27

2) f(x) und f(x0) und x0 in die Formel einsetzen      (3x^2-27)/(x-3)

3) 3 im Zähler ausklammern      (3(x^2-9))/(x-3)

4) Oben kann man das jetzt ja in eine bin. Formel "umformulieren" und so den Nenner   dann wegkürzen     (3(x+3)-(x-3))/(x-3), gekürzt hat man dann ja nur noch 3(x+3)

5) Dann habe ich x gegen x0, also 3, gehen lassen      lim x->3 (3(x+3)); für x habe ich dann den Grenzwert 3 eingesetzt also: 3(3+3), das ergibt dann 18, aber das stimmt doch gar nicht. Wo habe ich Fehler gemacht? Und was ist wenn kein x0 gegeben ist?

Answer 1

lim x -> x0

(f(x) - f(x0)) / (x - x0)
= (3·x^2 - 3·x0^2) / (x - x0)
= 3·(x^2 - x0^2) / (x - x0)
= 3·(x + x0)·(x - x0) / (x - x0)
= 3·(x + x0)
= 3·(x0 + x0)
= 3·(2·x0)
= 6·x0

Dort wo bei mir ein x0 steht, kannst du auch gleich deine 3 einsetzen. Man kommt allerdings auf 18. Sollte man auch denn 

f'(x) ist ja 6*x und wenn man dort für x 3 einsetzt kommt man auch auf 18.