Kurvendiskussion: Diskutieren Sie die Funktion F(x):= x^4-6x²+8

Question

DIeskutieren sie die funktion F(x) : x⁴-6x²+8 

a) berechnen sie nullstellen ,exremwerte, wendepunkte und wendetangenten. stellen sie danach alles in einer zeichnung mit der einheit 1 cm im bereich -2,5<x<2,5 grafisch dar.

b) berechnen sie den inhalt der fläche , die von der tangente im hochpunkt mit der funktion f(x) gebildet wird

Comments

Wo genau ist das Problem?

Die Nullstellen kannst du mit dem Verfahren hier bestimmen: https://www.mathelounge.de/117147/bestimmen-sie-die-nullstellen-der-funktion-f-f-x-36x-4-97x-2-36

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ich komm mit dem x ⁴ nicht klar. weil wir das in der schule nicht wirklich erklärt bekommen haben warum das dann aufeinmal quadrat ist und x zu u werden soll versteh ich nicht und wie ich weiter rechne auch nicht. 

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hier einmal ein 1.Tip

x⁴ - 6x² + 8
ersetzen
x^2 = z
z^2 - 6 * z + 8
Nullstelle(n) mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung
z^2 - 6 * z + 8 = 0

mfg Georg

ich rechne die Aufgabe jetzt mal komplett
 

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@Lu
ich bin auf eine Schwierigkeit gestoßen
f ( x ) = x^4 - 6 * x^2  + 8
f ´ ( x ) = 4 * x^3 - 12 * x
x = 0
4 * x^2 - 12 = 0
x = √ 3
x = - √ 3

Ersetzen
z = x^2
g ( z ) = z^2 - 6 * z + 8
g ´( z ) = 2 * z - 6
2 * z = 6
z = 3
Rückersetzen
x = √ 3
x = - √ 3

Für f bekomme ich 3 Extrempunkte heraus, für g nur 2
Wie dies ?
mfg Georg

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Ersetzen
z = x²
g ( z ) = z² - 6 * z + 8
g ´( z ) = 2 * z - 6
2 * z = 6
z = 3
Rückersetzen
x = √ 3
x = - √ 3

Für f bekomme ich 3 Extrempunkte heraus, für g nur 2
Wie dies ?
mfg Georg

Gute Frage. Du kannst ja nicht einfach nach z ableiten. Denn: Wenn z von x abhängt, fehlt die innere Ableitung bei g' , Das macht g'(x) komplexer.

3 Extremalstellen. 4 Nullstellen und 2 Wendepunkte sind zu erwarten.

Answer 1

Die Nullstellenberechnung habe ich ansatzweise schon im Kommentar
angeführt. Falls nicht klar dann bitte melden.
Vorüberlegung : die Funktion ist achsensymmetrisch, da nur
gerade Hochzahlen vorkommen.

f ( x ) = x⁴ - 6 * x²  + 8
1.Ableitung
f ´ ( x ) = 4 * x³ - 12 * x
Extremstellen
x * ( 4 * x² - 12 ) = 0
x = 0
4 * x² - 12 = 0
x = √ 3
x = - √ 3
f ( 0 ) = 8
f ( √ 3 ) = (  √ 3 )^4 - 6 * ( √ 3 )^2 + 8 = -1
E ( 0  |  8 )
E ( √ 3 | -1 )
E ( -√ 3 | -1 )
2.Ableitung
f ´´ ( x ) = 12 * x^2 - 12
Wendepunkte
12 * x^2 - 12 = 0
x = +1
x = -1
W ( ±1  | 3 )
Wendetangenten
Steigung im Wendepunkt
f ´ ( 1 ) = 4 * 1^3 - 12 * 1 = -8
y = m * x + b
3 = -8 * 1 + b
b = 11
Wendetangente x = 1
t ( x ) = -8 * x + 11
Wendetangente x = -1
t ( x ) = 8 * x + 11

b.)
Die Wendetangente im Hochpunkt ist eine Parallele
zur Achse als Funktion h ( x ) = 8
Als weiterer Schnittpunkt mit dem Graph ergibt sich
f ( x ) = x⁴ - 6 * x²  + 8 = 8
x⁴ - 6 * x²  = 0
hier auch wieder ersetzen
z = x^2
z^2 - 6 * z = 0
z * ( z - 6 ) = 0
Ein Produkt ist dann gleich 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
z = 0  | bekannt
z - 6 = 0
z = 6
x^2 = 6
x = √ 6
Stammfunktion bilden
∫ f ( x ) = ∫ x⁴ - 6 * x²  + 8 dx
x^5 / 5 - 6 * x^3 / 3 + 8 *x
So, das wars weil ich jetzt noch was erledigen muß.
Du mußt dir jetzt anhand der Skizze überlegen welche
( Teil- ) Fläche gemeint ist, was Abzugsflächen sind usw.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.
Bin gern weiterhin behilflich.

mfg Georg


 

 

 

Comments

Nullstellen:

Subst: x^2 = z

f ( z ) = z² - 6 * z + 8 = 0

z1,2 = 1/2 ( 6 ± √(36 - 32) = 1/2 ( 6 ±2)

z1 = 4

z2 = 2

Rücksubst.

4 = x^2 -----> x1,2 = ±2

2 = x^2 → x3,4 = ±√2