Skispringer Schanze: Ermitteln Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes des Hanges und Höhendifferenz zur Absprungstelle

Question

Fin Skispringer landet nach dem Verlassen der Schanze weiter talwärts auf dem sogenannten Aufsprunghang. Die Abbildung zeigt das Profil dieses Aufsprunghanges. Dieses Profil kann durch die Funktion \( f \) mit der Gleichung \( f(x)=0.01 x^{3}-0,1975 x^{2}-0,06 x+13 \) im Bereich \( 0 \leq x \leq 15 \) beschrieben werden.

Der Graph der Funktion \( g \) mit \( g(x)=-0,13 x^{2}+13,4 \) beschreibe die Flugbahn dieses Springers. Der Sprung startet bei \( x=0 \). Hier befindet sich der Schanzentisch, der 4 Meter über dem Aufsprunghang liegt.

a) Ermitteln Sie rechnerisch (z. B. auf zwei Dezimalen gerundet) die Koordinaten des tiefsten Punktes des Hanges und die Höhendifferenz zur Absprungstelle.

b) Bestimmen Sie die Stelle, an der der Hang sein größtes Gefalle hat.

Comments

mit größtes Gefälle ist die Stelle der Funktion gemeint, an der die Steigung am größten ist, also die Wendestelle :)

Answer 1

f(x) = 0.01·x^3 - 0.1975·x^2 - 0.05·x + 13

f'(x) = 0.03·x^2 - 0.395·x - 0.05

f''(x) = 0.06·x - 0.395

a) Tiefpunkt f'(x) = 0

0.03·x^2 - 0.395·x - 0.05 = 0

x = 79/12 + √6481/12 = 13.29

f(13.29) = 0.93 --> Tiefpunkt (13.29 | 0.93)

Höhendifferenz

13.4 - 0.93 = 12.47 LE = 124.7 m

b) Wendepunkt f''(x) = 0

0.06·x - 0.395 = 0
x = 79/12 = 6.58

f(6.58) = 6.97 --> Wendepunkt (6.58 | 6.97)

f'(6.58) = - 1.35 --> Steigungswinkel α = ARCTAN(-1.35) = - 53 Grad