Aufgabe:
Ein Skispringer springt vom Schanzentisch mit Winkel \( \theta \) und Geschwindigkeit \( v \) ab. Folgende Differentialgleichungen beschreiben die vertikale und horizontale Beschleunigung des Skispringers zum Zeitpunkt \( t \) (wir ignorieren alle externen Kräfte bis auf die Erdbeschleunigung \( g \approx 9.81 \))
\( \begin{array}{l} \ddot{y}(t)=-g \\ \ddot{x}(t)=0 \end{array} \)
Die Anfangsbedingungen (d.h. bei \( t=0 \) ) sind gegeben als die vertikale und horizontale Geschwindikeit
\( \begin{array}{l} \dot{y}(0)=v \sin \theta \\ \dot{x}(0)=v \cos \theta \end{array} \)
und die Höhe (und Distanz) beim Absprung
\( \begin{array}{l} y(0)=h_{0} \\ x(0)=0 . \end{array} \)
Lösen Sie diese Differentialgleichungen numerisch mit der Expliziten Euler Methode. Das heißt, Sie berechnen die Distanz \( x \) und Höhe \( y \) des Skispringers für die diskreten Zeiten \( t_{0}, \ldots, t_{n} \) mit \( t_{n}=t_{0}+n \cdot h \). Sie müssen dafür die Methode zweimal für jede Dimension anwenden um die Werte für \( t_{n+1} \) zu bekommen. Zuerst, werden die Geschwindigkeiten \( \dot{x}_{n+1}, \dot{y}_{n+1} \) von der Beschleunigung approximiert. Anschließend berechnen Sie die Distanz \( x_{n+1} \) und Höhe \( y_{n+1} \) aus den numerisch berechneten Geschwindigkeiten \( \dot{x}_{n}, \dot{y}_{n} \).
a) (1 Punkt) Berechnen Sie per Hand die ersten zwei Zeitschritte \( t_{1}=h, t_{2}=2 h \), mit \( h=\frac{1}{4} \) mit der Expliziten Euler Methode. Berechnen Sie die Anfangswerte \( \dot{x}_{0}, \dot{y}_{0}, x_{0}, y_{0} \) aus den folgenden Parameter
\( h_{0}=1, \quad \theta=\frac{\pi}{4}, v=2 \sqrt{2} \)
Zur Vereinfachung dürfen Sie für die Erdbeschleunigung \( g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \) annehmen.
b) (1 Punkt) Implementieren Sie in Julia die Explizite Euler Methode um die erwähnten Differentialgleichungen zu lösen - siehe den Julia Code ski_jump_euler.jl.
c) (0.5 Punkte) Berechnen Sie für jeden Zeitschritt den Fehler zwischen der analytischen Lösung und dessen Approximation, z.B. für die vertikale Komponente \( \left|y\left(t_{n}\right)-y_{n}\right| \).
d) (0.5 Punkte) Testen Sie ihre Implementierung mit verschiedenen Zeitschrittgrößen \( h \). Was können Sie beobachten? Erklären Sie das Verhalten geometrisch.
Problem/Ansatz:
Dieses Beispiel bringt mich leider echt zum verzweifeln... Also bis jetzt hät ich mal (x(t), y(t)) = (v cos theta * t + C, -gt^2/2 + v sin theta * t + D) wenn ich jetzt null einsetze würd ich sagen ist C = 0 und D = h0 leider beantwortet das nicht wirklich meine Aufgaben denk ich, weiter weiß ich aber auch leider nicht...
