betriebsoptimum berechnen aus x^3 + - 77,5x^2 - 100000 = 0

Question

hallo!

also wie man diese berechnung angeht, da steig ich komplett aus...

hab erst rausgehoben, aber dann bleibt ja irgendwie das x = 100000 über, kann irgendwie nicht stimmen.. oder x^2 sind 100000...alles ein blödsinn ich weiß... es sollten 90 stück herauskommen.

habs endlich geschafft mir die kurve am TR anzeigen zu lassen, such die nullstelle und die ist dann bei - 14.. kann auch nicht sein!
bin grad sehr verzweifelt :(
ursprüngliche kostenfunktion: k (x) = 0,5x^3 - 77,5x^2 + 5625x + 100000

wäre für eure hilfe sehr dankbar!

lg

Answer 1

K(x) = 0.5·x^3 - 77.5·x^2 + 5625·x + 100000

k(x) = K(x) / x = 0.5·x^2 - 77.5·x + 10^5/x + 5625

k'(x) = x - 10^5/x^2 - 77.5 = 0
x = 89.87895471

Bei 90 Stück liegt also das Betriebsoptimum.

Comments

ja schon :D aber wie kommst du auf dieses x? kannst du mir da die schritte erklären bitte?

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Oben siehst du alle Notwendigen Schritte.
Stückkostenfunktion bilden. Diese Ableiten und gleich Null setzen. Dann nach x auflösen.

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aber ich kann es eben nicht nach x auflösen, das is ja mein problem :D

hab ja schon die richtige gleichung durch ableitung und nullsetzen  gebildet.. ;)

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x - 100000/x^2 - 77.5 = 0

x^3 - 77.5·x^2 - 100000 = 0

Das ist eine kubische Gleichung. Da wir keine ganzzahlige Nullstellen finden nehmen wir ein Näherungsverfahren. Z.B. über ein Intervallschachtelungsverfahren oder das Newtonverfahren.

[0, - 10^5;
10, - 1.0675·10^5;
20, - 1.23·10^5;
30, - 1.4275·10^5;
40, - 1.6·10^5;
50, - 1.6875·10^5;
60, - 1.63·10^5;
70, - 1.3675·10^5;
80, - 8.4·10^4;
90, 1250;
100, 1.25·10^5]

Wir sehen zwischen 80 und 90 eine Nullstelle

[80, - 8.4·10^4;
81, - 7.70365·10^4;
82, - 6.9742·10^4;
83, - 6.21105·10^4;
84, - 5.4136·10^4;
85, - 4.58125·10^4;
86, - 3.7134·10^4;
87, - 2.80945·10^4;
88, - 1.8688·10^4;
89, -8908.5;
90, 1250]

Wir sehen eine Nullstelle Zwischen 89 und 90 die Näher bei 90 ist.

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Das Newtonverfahren gibt einen genauen Wert. Dieser ist aber nicht nötig auszurechnen. Wer einen guten Taschenrechner hat der benutzt diesen um den Wert zu errechnen.

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das verfahren im obigen Kommentar von dir, is das das newton- oder das intervallschachtelungsverfahren? ich kann allerdings mit beidem wenig anfangen. bin mir auch nicht sicher, ob das überhaupt maturarelevant is.

aber ich hätte das gerne mit dem TR gelöst. nur bin ich nicht auf 90 stück gekommen. bin mir auch unsicher, ob meiner überhaupt so eine Gleichung lösen kann?! der TI-84 plus?

2nd - trace - Zero - left bound - right bound. da hat er mir geschrien "no sign chng". (obwohl ich sicherlich an der falschen stelle der kurve gesucht hab)..

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Probier mal 

solve(x - 100000/x² - 77.5 = 0, x)

Das sollte der denke ich können

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da kommt bei mir x = 41,489 raus..

equation: 0=x - 77,5 - 100000/x^2 (komma x muss ich nicht eingeben, kommt bei beiden 41 raus)

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Irgendwas musst du dann verkehrt gemacht haben weil wenn du 41 einsetzt und die Probe machst dann stimmts ja nicht. Allerdings kann ich von hier nicht beurteilen wo du den Fehler gemacht hast.

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ja wenn für x = 90 rauskommen soll hab ich sicherlich etwas falsch gemacht :)
(hab jetz nochmal was falsch gemacht, umgestellt, und bekomme -94 raus)

hätte mich nur interessiert...offensichtlich muss ich es wirklich nicht nachrechnen können, weil in der lösung nur diese stückzahl, die schon in der angabe steht, einfach nur in die funktion eingesetzt wurde um zu zeigen, dass da 0 bzw. fast 0 raus kommt.

danke auf alle fälle für deine mühen!

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Wie gesagt solltest du eine Wertetabelle machen können und dann sagen können bei welchem Wert fast null heraus kommt.

Answer 2

x³ + - 77,5x² - 100000 = 0

Woher kommt diese Gleichung?

Soll das die Ableitung von k ( x ) = 0,5x³ - 77,5x² + 5625x + 100000 sein?

Und soll da nun ein - oder ein + vor der 77,5 stehen?

Das Betriebsoptimum liegt grundsätzlich dort, wo der Gewinn, also der Umsatz abgzüglich der Kosten, maximal ist.
Wie lautet also die Gewinnfunktion?

Comments

ups, ein minus soll das sein! hab das plus nicht weggelöscht.

die gleichung ist die 1. ableitung der stückkostenfunktion. und da such ich eben die nullstelle(n), sprich das betriebsoptimum.

(hab den bruch - 100000/x^2 bereits aufgelöst)


ja und eben aus dieser gleichung nullstellen zu finden bereitet mir probleme.

und der gewinn is damit nicht gemeint. sondern die stückzahl, bei der die kosten am geringsten sind.

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Wenn k ( x ) die Stückkostenfunktion ist, dann ist die Ableitung:

k ' ( x ) = 1,5x² - 155x + 5625

(hab den bruch - 100000/x² bereits aufgelöst)

Woher kommt dieser Bruch?

Vielleicht soltest du mal die Aufgabe insgesamt darstellen, nicht nur Bruchstücke ...

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die ursprüngliche kostenfunktion steht ganz oben in meinem frage-text.

daraus hab ich die stückkostenfunktion gebildet und aus dieser dann die ableitung (diese steht in der fragestellung selbst). dann das ganze null setzen.

hast eh recht, hätte heißen sollen: x3 - 77,5x^2 - 100000 = 0

also diese gleichung muss ich lösen. und das bereitet mir probleme. das x rauszufinden.

der TR schreit mir, wenn ich durch 2nd - trace - zero die nullstelle suche. also "no sign chng"...

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Also, wenn ich es zusammenfassen darf:

K ( x ) =  0,5x³ - 77,5x² + 5625x + 100000

ist die Kostenfunktion ( mit großem K)

Daraus ergibt sich die Stückkostenfunktion:

k ( x ) = K ( x ) / x =   0,5x² - 77,5x + 5625 + 100000 / x

Die geringsten Stückkosten liegen dort vor, wo gilt:

k ' ( x ) = x - 77, 5 - 100000 / x ² = 0

<=> x ³ - 77,5 x ² - 100000 = 0

So, nun haben wir also die Gleichung, deen Nullstelle zu bestimmen ist.

Lässt man einen TR darüber laufen (oder auch WolframAlpha), so ergibt sich als Lösung: 

x = 89,879.

 

Da die zu lösende Gleichung eine kubische Gleichung ist und keine ganzzahlige Nuillstelle hat, ist sie "zu Fuß" nur recht aufwendig zu lösen (siehe Cardanische Formeln). Ich gehe davon aus, dass dies nicht von euch verlangt wird.

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ja jetzt verstehen wir uns gg

laut der lösung sieht es eigentlich fast so aus, als müsste man nicht zeigen wie man auf die 90 stück kommt. sondern nur zeigen, dass die lösung 0 bzw. fast 0 ergibt, wenn man die optimale betriebsmenge in die Funktion einsetzt.

allerdings war die Fragestellung "zeigen sie, dass das betriebsoptimum bei 90 stück liegt"....joa..war für mich als mathe-ass natürlich gleich logisch, dass ich es so machen und nicht rechnen muss.

kann der TI-84 PLUS das an und für sich? (wäre ja möglcih, dass ich die nullstelle falsch gesucht habe)