Exponentialfunktion Ableiten, die zum Betriebsoptimum führen

Question

Aufgabe:

ich hätte folgende Funktion von der ich gerne die 1. Ableitung erstellen möchte und die dazugehörige Nullstelle berechnen möchte (Betriebsoptimum)

Kostenfunktion (x)=100*e^0,03x+200

Stückkostenfunktion(x)=100x^-1 *e^0,03x +200x^-1 (Die Quotienregel habe ich mir noch nicht angeschaut)

k(x)'= -100x^-2 *e^0,03x +100x^-1 0,03*e^0,03x -200x^-2 =e^0,03x (-300x^-2 +3x^-1  )

Habe die Funktion schon in einen Online Ableiter durchlaufen lassen, somit weiß ich bereits, dass meine Ableitung falsch ist aber ich selber sehe nicht den Fehler den ich gemacht habe.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Stückkostenfunktion(x) = 100* x^(-1) *e^(0,03x) + 200 * x^(-1)

Das einfache zuerst
[ 200 * x^(-1) ] ´ = -1 * 200 * x^(-2)
= -200 /x^2

dann
100 * x^(-1) * e^(0,03x)
Die Konstante 100 lasse ich zunächst weg und füge
sie am Schluß wieder hinzu

Produktregel
x^(-1) * e^(0,03x)
u = x^(-1)
u ´= -x^(-2)
v = e^(0,03x)
v ´ = 0.03 * e^(0,03x)
u´ * v + u * v´
-x^(-2) * e^(0,03x) + x^(-1) * 0.03 * e^(0,03x)
hinzufügen 100
100 * [ -x^(-2) * e^(0,03x) + x^(-1) * 0.03 * e^(0,03x) ]

k ´( x ) = -200 /x^2
+  100 * [ -x^(-2) * e^(0,03x) + x^(-1) * 0.03 * e^(0,03x) ]

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wie die Ableitung richtig funktioniert habe ich jetzt verstanden, aber ich komme nach langen versuchen immer noch nicht auf die Nullstelle. Könntest du mir da eventuell noch eine kleine Hilfestellung geben? Mit freundlichen Grüßen

---

Hast du die Lösung ?

k ´( x ) = -200 /x^2
+  100 * [ -x^(-2) * e^(0,03x) + x^(-1) * 0.03 * e^(0,03x) ]  = 0

Unglücklichsterweise kommt bei mir heraus

Die Funktion k ´ hat keine Nullstelle.

---

Kostenfunktion (x)=100*e^(0,03x)+200
Das ist die Ausgangsfunktion.
Die Funktion geht gegen unendlich.
Stimmt die Ausgangsformel ?

Ist vielleicht noch eine Erlösfunktion
angegeben ?

---

vielen Dank für die Mühe. Das Betriebsoptimum liegt bei der Menge x=48,77 ME.

Es ist keine Erlösfunktion angegeben bzw. die Aufgabe sollte eigentlich mit Rechner gelöst werden, was ich auch gemacht habe, aber ich dachte es wäre eine schöne Übung dieses händisch zu berechnen

---

Hallo Wüstbude,
ich habe alles noch einmal nachgeprüft.
Die Stückkostenfunktion hat doch
ein Minimum.

Die Ableitung der Stückkostenfunktion = 0
kann allerdings nicht mit algebraischen
Mitteln gelöst werden. Hier ist ein Näherungsverfahren z.B. Newton
angesagt. x = 48.77

Eine händische Lösung kann ich dir
wegen des Arbeitsaufwands nicht empfehlen.
Ich habe ein Matheprogramm genutzt.

Vielleicht ist ein GTR auch geeignet.

Ansonsten finde ich es gut das du
dich für die Lösung ( tiefgreifend )
interessiert.

---

Vielen Dank, ich denke es hat mir persönlich nochmal viel gebracht darüber nachzudenken und freue mich sehr über deine lobenden Worte. Ich wünsche dir dann noch einen angenehmen und erholsamen Abend :)

Answer 2

k(x)'= -100x^-2 *e^0,03x +100x^-1 0,03*e^0,03x -200x^-2

Das ist richtig.

e^0,03x (-300x^-2 +3x^-1  )

Das ist nicht richtig.

Multipliziere das aus und stelle fest dass du nicht das bekommen hast, was du vor dem Ausklammern hattest.

Comments

Vielen Dank für die Antwort, wenn ich deine Antwort mit der Lösung von Mathecoach vergleiche dann dürfte ja in der Klammer nicht die -200x-² auftauchen. Somit wäre die Lösung ja e^0,03x(-100x^-2 +3x^–1)-200x^-2.   Für die Nullstelle lässt sich dann ja nicht mehr der Satz vom Nullprodukt anwenden oder?

Answer 3

K(x) = 100·e^(0.03·x) + 200

k(x) = (100·e^(0.03·x) + 200) / x

Ich nutze zum ableiten die Quotientenregel, weil ich denke das es einfacher ist.

k'(x) = (3·e^(0.03·x)·x - (100·e^(0.03·x) + 200)) / x^2 = (e^(0.03·x)·(3·x - 100) - 200) / x^2 = 0 --> x = 48.77 ME