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Begründung der absoluten und gleichmäßigen Konvergenz
Um zu begründen, dass die gegebene Reihe $$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ( n - x ) }$$ auf dem Intervall \( (a,b) \setminus \mathbb{N} \) absolut und gleichmäßig konvergiert, nutzen wir die gegebene Voraussetzung, dass für alle \( x \in (a,b) \) und für alle \( n > 2 \) die Ungleichung \( n - x > \frac{n}{2} \) gilt.
Schritt 1: Feststellung der Ungleichung
Vorab: Die gegebene Ungleichung \( n - x > n / 2 \) hilft uns, eine obere Schranke für die Terme der Reihe festzulegen, da sie zeigt, wie die Terme der Reihe beschränkt werden können.
Schritt 2: Anwendung der Ungleichung
Für \( n > 2 \) und \( x \in (a,b) \) haben wir, dass \( n - x > \frac{n}{2} \). Dies bedeutet, dass $$ \frac{1}{n(n-x)} < \frac{2}{n^2}. $$
Schritt 3: Anwendung des Majorantenkriteriums
Um zu zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert, wenden wir das Majorantenkriterium an, indem wir die Reihe mit einer bekannten, konvergenten Reihe vergleichen. Die Reihe $$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac{2}{n^2}$$ ist eine konvergente Reihe (dies ist eine p-Reihe mit p = 2, die für alle p > 1 konvergiert).
Da $$\frac{1}{n(n-x)} < \frac{2}{n^2}$$ für alle \( n > 2 \), dient die Reihe $$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac{2}{n^2}$$ als Majorante für unsere gegebene Reihe auf dem Intervall \( (a,b) \setminus \mathbb{N} \), was bedeutet, dass unsere ursprüngliche Reihe absolut konvergiert.
Schritt 4: Gleichmäßige Konvergenz
Für die gleichmäßige Konvergenz müssen wir zeigen, dass der maximale Term der Reihe (gegeben durch die Abschätzung) gegen 0 konvergiert, unabhängig von \( x \) im Intervall \( (a,b) \). Da \( \frac{2}{n^2} \) unabhängig von \( x \)ist und gegen 0 geht, wenn \( n \) gegen unendlich strebt, folgt, dass die Konvergenz gleichmäßig ist.
Begründung, dass die Reihe nicht gleichmäßig konvergent ist auf \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} \)
Um zu zeigen, dass die Reihe nicht gleichmäßig konvergent auf \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} \) ist, betrachten wir, dass die Ungleichung \( n - x > n / 2 \) nicht notwendigerweise für alle \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} \) gilt. Insbesondere, wenn \( x \) sehr nahe an einer natürlichen Zahl \( n \) liegt (aber nicht genau \( n \) ist), wird der Nenner \( n(n-x) \) sehr klein, was den entsprechenden Term der Reihe groß macht. Da dies für beliebig große \( n \) passieren kann, können wir die erforderliche Abschätzung für eine Majorante nicht erfolgreich für alle \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} \) anwenden, was die gleichmäßige Konvergenz über dieses Intervall verhindert.
Zusammenfassend nutzt die Lösung die angegebene Information über \( n - x > n / 2 \) für \( n > 2 \) und \( x \in (a,b) \), um durch Vergleich mit einer konvergenten p-Reihe zu zeigen, dass die gegebene Reihe sowohl absolut als auch gleichmäßig auf dem Intervall \( (a,b) \setminus \mathbb{N} \) konvergiert, aber nicht gleichmäßig konvergiert auf \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} \).
