5^{2p−1} = 125^{-p} mit ln lösen

Question

 

die Gleichung 5^2p−1 = 125^−p möchte ich mit dem ln lösen.

Zuerst muss ich ja den negativen Exponenten auf der rechten Seite beseitigen, also schreibe ich 5^2p−1 = 1/125^p

Nun wende ich den ln auf beiden Seiten an und erhalte 2p-1 ln (5) = ln (1/125^p)

Umgeschrieben: 2p-1 ln(5) = ln(1) - p*ln(125)

Da ln(1) = 0 ist erhalte ich

2p-1 ln(5) = - p*ln(125)

Wie geht es jetzt weiter? Die e Funktion kann ich ja noch nicht anwenden, da ich vor dem ln noch Faktoren habe, die ich dann in die Potenz der e Funktion erheben müsste.

Kann ich die 2p von der linken Seite einfach mit -2p auf die rechte Seite holen, sodass ich -3p*ln(125) erhalte?

Passend dazu habe ich noch ein paar Fragen was das auflösen von Gleichungen angeht, die werde ich aber besser in einer seperaten Frage stellen.

Answer 1

 5^2p−1 = 125^{−p}  | 125 = 5^3  insgesamt 5^3 hoch -p = (5^3 )^{-p} = 5^{-3p}

5^{2p-1} = 5^{-3p}
2p - 1 = -3p
5p = 1
p = 0.2
Probe
5^{2*0.2-1} = 125^{-0.2}
5^{-0.6} = 125^{-0.2}
0.38 = 0.38  | stimmt

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

Comments

 5^2p−1 = 125^−p

Falls du mit ln lösen willst
 ln(5^2p−1 )=  ln (125^−p )
( 2p - 1 ) * ln(5) = (-p) * ln (125)
( 2p - 1 ) / ( -p) = ln(125) / ln(5)
2p/(-p) - 1/(-p) = 3
-2 + 1/p = 3
1/p = 5
p = 1/5 =0.2

mfg Georg

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Danke, also muss ich um den ln anzuwenden gar nicht erst den negativen Exponenten beseitigen? Ich dachte man darf nur positive Exponenten haben.


( 2p - 1 ) / ( -p) = ln(125) / ln(5)
2p/(-p) - 1/(-p) = 3
-2 + 1/p = 3
1/p = 5
p = 1/5 =0.2

Das ist mir noch nicht ganz klar.

Du hast dann scheinbar beide Seiten durch (-p) geteilt, richtig? Aber wieso dann das / ln(5) auf der rechten Seite?

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( 2p - 1 ) * ln(5) = (-p) * ln (125)  | / (-p)
( 2p - 1 ) * ln(5) /(-p) = (-p) * ln (125) /(-p) = ln (125 )  | / ln(5)
( 2p - 1) / (-p) * ln(5) / ln(5) = ln ( 125 ) / ln ( 5 )
( 2p - 1 ) / (-p) = ln (125 ) / ln ( 5 )

" Danke, also muss ich um den ln anzuwenden gar nicht erst den negativen
Exponenten beseitigen? Ich dachte man darf nur positive Exponenten haben. "

Der Wert im Logarithmus muß >= 0 null. Nicht ein eventuell vorhandener
negativer Exponent erzeugt einen negativen Wert.
Beispiel ln ( 4^{-3} ) = ln ( 1 / 4^3 ) = ln ( 1 / 64 ) also ein positiver Wert.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

5^{2·p - 1} = 125^{-p}

5^{2·p - 1} = (5^3)^{-p}

5^{2·p - 1} = 5^{- 3·p}

5^{2·p - 1} / 5^{- 3·p} = 1

5^{5·p - 1} = 1

5·p - 1 = 0

5·p = 1

p = 1/5