sinx/x Limes. Regel von l'Hospital

Question

lim x->0 sinx/x  = lim->0 cosx/1 = 1

aber wieso 1? Da steht doch auch cosx?

Oder muss da immer eine Zahl rauskommen, damit man weiß, wogegen die Funktion divergiert oder konvergiert oder?? liege ich richtig???

Answer 1

Du kannst jetzt die 0 ja direkt in cos(x) einsetzen => cos(0) = 1

Comments

AAAAAAhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

und wäre das

limx->2 sinx/x = lim->2 cosx1 ≈ 0.9993 ....

also sooooooo wäre das doch bei diese l'hospital oder? also man differenziert doch den zähler und den nenner und dann einfach 2 oder 0 für x einsetzen je nachdem oder??

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Also erstmal kannst du die Regel von de l'Hospital nur anwenden, wenn Zähler UND Nenner gegen 0 gehen oder der Nenner gegen unendlich geht (und noch einige detailliertere Voraussetzungen, die aber meistens nicht beachtet werden müssen). Und dann musst du ja nur weiter nachdenken, weil du 0 nicht in den Nenner einsetzen darfst bei $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin x}{x}$$. Darfst du das einsetzen, ist es kein Problem. $$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{ sin x }{ x } = \frac{ sin(2) }{ 2 } \approx 0,45$$ (Rad). Da dürfest du die Regel von de l'Hospital gar nicht anwenden, weil der Nenner gegen 2 geht. Deswegen hast du da auch ein falsches Ergebnis für den Grenzwert raus.

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ahhsoooo kann man das direkt erkennen, dass zähler und nenner gegen 0 gehen?

oder weil das da steht: lim x->0

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Ja, kann man. Indem du 0 probeweise einsetzt. Es ist klar, dass bei $$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{sin(x)}{ x }$$ der Nenner gegen 0 geht. Es ist aber auch sin(0) = 0, daher gehen Zähler UND Nenner gegen 0 und man kann die Regel anwenden.

Dass x gegen 0 geht, damit hat das nichts zu tun. Z.B. bei $$\lim_{x \rightarrow 2 } \frac{1}{x - 2}$$ geht der Nenner auch gegen 0 (aber der Zähler nicht).

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ahso Oo

irgendwie muss ich das noch verstehen Oo

man braucht doch schon wissen über grenzwerte oder? um die regel von l'hospital anwenden zu können?

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Ja, ein wenig, um die Voraussetzungen zu überprüfen.

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ja:)

ich glaube Du  bist schon ein Student oder?

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Ja, bin ich. Aber die Regel von de l'Hospital lernt man denke ich auch noch im Abitur, wenn es um Differentialrechnung geht. Aber wenn du so weiter machst, wirst du das und vieles mehr schon lange vor deinem Abitur können ;)