Weise rechnerisch nach, dass der Graph von f in H(-2/4) einen lokalen Hochpunkt...

Question

Brauche Hilfe!! Habe bereits die erste Ableitung ermittelt: f'(x)= 3/4x^2 - 3 Wie gehe ich weiter vor? Müsste wohl die Gleichung null setzen, aber komme suf falsche Ergebnisse.

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Weise rechnerisch nach, dass der Graph von f in H(-2/4) einen lokalen Hochpunkt und in T(2/-4) einen lokalen Tiefpunkt hat.

Answer 1

 

wenn die Ableitung lautet

f'(x) = 3/4 * x² - 3

setzen wir sie wie folgt = 0:

3/4 * x² - 3 = 0 | +3

3/4 * x² = 3 | * 4/3 entspricht : 3/4

x² = 4 | Wurzel ziehen

x_1,2 = ± 2

Diese beiden Werte jetzt in die 2. Ableitung setzen, um zu sehen, ob diese dann > 0 oder < 0 wird.

f''(x) = 3/2 * x

f''(2) = 3/2 * 2 = 3 > 0 => Tiefpunkt an (2|f(2))

f''(-2) = 3/2 * (-2) = -3 < 0 => Hochpunkt an (-2|f(-2))

Jetzt noch -2 in f(x) einsetzen, um auf den y-Wert an dieser Stelle (soll 4 sein) zu kommen.

 

Besten Gruß

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und was ist mit -4?

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Nun, ich kenne f(x) nicht, aber an x = 2 liegt ein Tiefpunkt vor, wie oben ausgerechnet.

Ich denke mal, dass f(2) = -4 ist (Überprüfen durch Einsetzen), oder?

:-D

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ja stimmt, und wie komme ich auf die tangentengleichung? Funktion ist übrigens f(x)=1/4x^3-3x

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Tangente an welchen Punkt?

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"Bestimmen sie rechnerisch die Gleichung dieser Geraden." (von Funktion f)

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Das ist keine Riesenhilfe :-)

Ich denke mal, es ist die Gleichung der Tangente an f(x) am Hochpunkt (-2|4) gesucht.

Wir erinnern uns an die allgemeine Form einer Geraden:

y = mx + b

Wenn man eine Tangente an eine bestimmte Stelle eines Graphen legt, wird dies folgendermaßen umgeschrieben:

g(x) = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

wobei hier x₀ = -2, also

g(x) = 3/4 * (-2)² - 3 * (x - (-2)) + 1/4 * (-2)³ - 3 * (-2) =

0 * (x + 2) - 2 + 6 =

4

 

Das sähe dann einfach so aus:

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haben nur die Lösung bekomm, die ist g: y= -2x

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Gut, das wäre dann eine Tangente an den Wendepunkt der Funktion, der im Ursprung (0|0) liegt:

Answer 2

Hi,

wenn f'(x) = 3/4*x^2-3 ist, dann einfach -2 einsetzen und schauen ob 0 rauskommt:


f'(2) = 3/4*4-3 = 0 --> notwendige Bedingung erüllt. In die zweite Ableitung damit:

f''(x) = 3/2*x

f''(2) = 3/2*(-2) = -3 < 0   -> Hochpunkt


Gezeigt :).


Grüße

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Hi, leider ist das nicht so leicht, machen das nach dem Verfahren "Extrem und Wendestellen" müsste diese Funktion gleich null setzten, aber habe einen leeren Kopf grade, komme nicht darauf wie ich es weiter löse

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Wie meinen? Eine Nullstelle der ersten Ableitung muss nicht "ge"sucht werden, sondern "unter"sucht werden. Sie ist ja schon bekannt ;). Sonst aber habe ich ja das Verfahren, das Du nennst verwendet ;).

Answer 3

Müsste wohl die Gleichung null setzen, aber komme auf falsche Ergebnisse.

Die entstehende quadratische Gleichung ist so einfach, dass man sie auch gut im Kopf ausrechnen kann...

Allerdings ist dies hier gar nicht nötig, da die Verdächtigen in dieser Aufgabe ja nicht gesucht werden, sondern schon bekannt sind.
Zeige also f´(2) = f'(−2) = 0.
Nun musst Du noch schauen, von welcher Art die Verdächtigen sind.