Ausmultiplizieren von Wurzeln, Quadraten und Klammern

Question

Wie kann der Term vereinfacht werden, sodass die Kleiner-/Gleichheit zu erkennen ist?

\( \left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}+\left(b_{1}+b_{2}\right)^{2} \leq(\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}})^{2}+2 \cdot \sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+(\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}})^{2} \)

Ich hab das ausmultipliziert bis zu (a1a2)²+2a1a2b1b2+(b1b2)² <= a1²a2²+a1²b2²+b1²a2²+b1²b2²... kann damit aber nichts anfangen. Ursprünglich waren nach dem quadrieren der Gleichung im Bild beide  Seiten noch mit 2 multipliziert und mit  a1²+a2²+b1²+b2² addiert(). Habe das weggelassen und weiss nicht, ob das gut war.

Answer 1

Habe das Problem gelöst. Bei wiederholtem Überfliegen, in voller Resignation, sind meine Augen irgendwie an der Brahmagupta Identität hängengeblieben. Unter Verwendung dieser kann man das ganze so stellen, dass auf der rechten Seite +(a1b2-b1a2)² mehr steht, was durch die Quadrierung immer mind. positiv sein sollte, wodurch die Gleichung stimmt.

Gruß