Ableitung von e^{√x²+4} bestimmen

Question

Hi,

folgende Funktion soll abgeleitet werden

$${ e }^{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  }$$

Ich bin wie folgt vorgegangen

1.) $${ e }^{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  }$$ = $${ e }^{ { { (x }^{ 2 }+4) }^{ 1/2 } }$$

2.) Die Ableitung ist: $${ e }^{ { { (x }^{ 2 }+4) }^{ 1/2 } }*{ { f'(x }^{ 2 }+4) }^{ 1/2 }\quad$$

3.) Mit Hilfe der Kettenregel leite ich $${ { (x }^{ 2 }+4) }^{ 1/2 }$$ ab

4.) g(x)=(x²+4) ist meine innere Funktion und f(u)=u^1/2 meine äußere Funktion.

5.) g'(x)=2x und f'(u)=0,5u^-1/2

6.) 2x * 0,5u^-1/2 = 2x * 0,5(x²+4)^-0,5

Bin ich bis hierhin richtig vorgegangen?

Nun würde ich nämlich e^{(x2+4)^1/2} * 2x * 0,5(x²+4)^-0,5 mit der Produktregel ableiten.

Comments

ja stimmt, aber wieso dann zum Schluss Produktregel? willst die 2. Ableitung bilden ? g

---

Ach, ich bin quasi mit e^(x2+4)^1/2 * 2x * 0,5(x2+4)^-0,5 schon fertig? Mir ist die Abgrenzung noch nicht ganz bewusst. Wenn ich nun die Produktregel anwenden würde, käme ich also zur Ableitung zweiten Grades?

---

genau so ist es

Answer 1

Die Funktion$$f(x)={ e }^{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  }$$hat die Form$$u(v(w(x)))$$mit$$w={ x }^{ 2 }+4 $$$$v=\sqrt { w }$$$$u={ e }^{ v }$$

Hier kann die erweiterte Kettenregel angewendet werden
("innerste Ableitung + nächstäußere Ableitung * .. * äußerste Ableitung")
also vorliegend:
$$f'(x)=[u(v(w(x)))]'=w'(x)*v'(w)*u'(v)$$$$=2x*(\frac { 1 }{ 2*\sqrt { w }  } )*{ e }^{ v }$$v und w wieder ersetzen:$$=2x*\frac { 1 }{ 2*\sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  } *{ e }^{ \sqrt { w }  }$$$$=2x*\frac { 1 }{ 2*\sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  } *{ e }^{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  }$$$$=\frac { x{ e }^{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+4 }  }$$