Welche Bedingungen müssen gelten, damit folgende Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind?

Question

Es sei (G,·) eine Gruppe, und h,k ∈ G fest gegeben, welche Bedingungen müssen für h, k gelten, damit die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind?

 

(a)  α : G → G : g ↦ h · g · h

(b)  β : G → H : g → h^-1 · g · k

 

Ich kapier ehrlich gesagt nicht wirklich viel davon gerade, also wäre eine möglichst detaillierte erklärung sehr nett,

Answer 1

$\alpha, \beta$ müssen um Homomorphismen von Gruppen zu sein nur linear sein, d.h.
$\alpha(g\cdot g')=\alpha(g)\cdot \alpha(g')$ bzw. analog für $\beta$

Also $\alpha$ homomorphismus genau dann, wenn $\alpha(gg')=\alpha(g)\alpha(g')$ $\Leftrightarrow$ $hgg'h=hghhg'h$ $\Leftrightarrow$ $hh=1$, also gilt das für alle selbstinversen Elemente in G

analog: $\beta$ homomorphismus genau dann, wenn $h^{-1}gg'k=h^{-1}gkh^{-1}g'k$ $\Leftrightarrow$ $h^{-1}k=1$ $\Leftrightarrow$ $k=h$