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Es sei (G,·) eine Gruppe, und h,k ∈ G fest gegeben, welche Bedingungen müssen für h, k gelten, damit die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind?

 

(a)  α : G → G : g ↦ h · g · h

(b)  β : G → H : g → h-1 · g · k

 

Ich kapier ehrlich gesagt nicht wirklich viel davon gerade, also wäre eine möglichst detaillierte erklärung sehr nett,

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α,β\alpha, \beta müssen um Homomorphismen von Gruppen zu sein nur linear sein, d.h.
α(gg)=α(g)α(g)\alpha(g\cdot g')=\alpha(g)\cdot \alpha(g') bzw. analog für β\beta

Also α\alpha homomorphismus genau dann, wenn α(gg)=α(g)α(g)\alpha(gg')=\alpha(g)\alpha(g') \Leftrightarrow hggh=hghhghhgg'h=hghhg'h \Leftrightarrow hh=1hh=1, also gilt das für alle selbstinversen Elemente in G

analog: β\beta homomorphismus genau dann, wenn h1ggk=h1gkh1gkh^{-1}gg'k=h^{-1}gkh^{-1}g'k \Leftrightarrow h1k=1h^{-1}k=1 \Leftrightarrow k=hk=h
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