Welche Bedingungen müssen gelten, damit folgende Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind?

Question

Es sei (G,·) eine Gruppe, und h,k ∈ G fest gegeben, welche Bedingungen müssen für h, k gelten, damit die folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind?

 

(a)  α : G → G : g ↦ h · g · h

(b)  β : G → H : g → h^-1 · g · k

 

Ich kapier ehrlich gesagt nicht wirklich viel davon gerade, also wäre eine möglichst detaillierte erklärung sehr nett,

Answer 1

\(\alpha, \beta\) müssen um Homomorphismen von Gruppen zu sein nur linear sein, d.h.
\(\alpha(g\cdot g')=\alpha(g)\cdot \alpha(g')\) bzw. analog für \(\beta\)

Also \(\alpha\) homomorphismus genau dann, wenn \(\alpha(gg')=\alpha(g)\alpha(g')\) \(\Leftrightarrow\) \(hgg'h=hghhg'h\) \(\Leftrightarrow\) \(hh=1\), also gilt das für alle selbstinversen Elemente in G

analog: \(\beta\) homomorphismus genau dann, wenn \(h^{-1}gg'k=h^{-1}gkh^{-1}g'k\) \(\Leftrightarrow\) \(h^{-1}k=1\) \(\Leftrightarrow\) \(k=h\)