Gibt es nur eine Primzahl der Form n²-1?

Question

Gibt es eine Primzahl der Form n²-1 ?

Wenn es nur eine gibt, warum ist das so?

Gib einen Beweis an.

Answer 1

Ja, es gibt eine solche Primzahl, nämlich

3 = 2 ² - 1

Und es gibt auch nur diese eine Primzahl, die diese Form hat.

Begründung:

Eine Zahl

Z = ( n ² - 1 ) = ( n + 1 ) ( n - 1 ) 

hat mindestens die beiden verschiedenen Teiler ( n + 1 ) und ( n - 1 )

Damit aber Z dennoch eine Primzahl ist, muss einer der Teiler die 1 und der andere die Zahl selber sein.
Das aber gilt nur, wenn n - 1 = 1 und n + 1 = 3 ist, also für die Zahl Z = 3 

Answer 2

n^2 - 1 = (n + 1)·(n - 1)

Für n = 2 ist es
2^2 - 1 = (2 + 1)·(2 - 1) = 3·1

Für gößtere n sind (n + 1) und (n - 1) wenigstens Teiler und damit ist n^2 - 1 dann keine Primzahl mehr.

So eine einfache Aufgabe hättest du aber auch selber durch ein wenig überlegen hinbekommen sollen.