wir setzen ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraus, dass die Matrix \( A \) in Diagonalform vorliegt. Dann liegt auch ihr Inverses \( A^{-1} \) in Diagonalform vor.
für \( A \in K^{n \times n} \) ist \( p(T) \) eine Abbildung gemäß \( p : K^{n \times n} \rightarrow K^{n \times n} \).
(Dies geht aus der Forderung \( p(A) = A^{-1} \) hervor.)
\( p \) bildet also Matrizen auf Matrizen ab.
Zu zeigen ist also, dass es ein Polynom \( p(T) = \sum_{i=0}^{d} a_i T^i \) mit einem Grad \( d \) gibt, sodass
\( A \circ p(A) = A \circ \sum_{i=0}^{d} a_i A^i = \sum_{i=0}^{d} a_i A^{i+1} = \sum_{i=1}^{d+1} \hat{a}_i A^{i} = E \).
Beschränken wir den Grad \( d+1 \) durch \( d +1 = n \) (eine geeignete Vermutung, wie sich später zeigt), so erhalten wir \( n \) Gleichungen
\( \sum_{i=1}^{n} \hat{a}_i \lambda_j^i = 1 \), \( j = 1 \dots n \)
mit den \( i \)-ten Potenzen der Diagonalelemente \( \lambda_j \) der Matrix \( A \).
Dies sind \( n \) Gleichungen in \( n \) Variablen \( \hat{a}_i \), für die es mindestens eine Lösung gibt. Wäre \( A \) nicht invertierbar, so verschwände wenigstens ein \( \lambda_j \) (bzw. seine \( i \)-ten Potenzen \( \lambda_j^i \)), sodass das Gleichungssystem nicht lösbar wäre.
Durch die Rückindizierung \( a_i \equiv \hat{a}_{i+1} \) mit \( i = 0 \dots n-1 \) sind die Koeffizienten \( a_i \) des Polynoms \( p \) gefunden.
MfG
Mister
