Vektorenrechnung: Untersuchen der gegenseitigen Lage der Geraden

Question

Aufgaben:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \). Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes \( S \).

a) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}7 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}-6 \\ -3 \\ 3\end{array} \right) \)

b) \( g: \vec{x}=t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \)

c) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

d) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-5 \\ -15 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-0,5 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

Ansatz:

Die 1. (also a) habe ich gelöst: g und ha sind zueinander parallel, aber nicht identisch.

Bei der 2. habe ich die Schnittpunkte berechnet sie waren nicht gleich daher -> sind die geraden windschief zueinander

und ab der 3. Aufgabe komme ich nicht mehr weiter

und bei d) sind die Richtungsvektoren leider nicht parallel zueinander :(

Wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet!

Answer 1

Bei c) und d) sind die Richtungsvektoren nicht parallel. Also kann es nur einen Schnittpunkt geben oder die Geraden sind windschief.

Wie man einen Schnittpunkt berechnen hast du gelernt

[0, 1, 1] + r·[1, 0, 1] = [4, 2, 4] + s·[2, 1, 1]

Hier gibt es einen Schnittpunkt für r = 2 ∧ s = -1

[5, 5, 1] + r·[1, 2, 0] = [-5, -15, 1] + s·[-0.5, 1, 0]

Hier gibt es einen Schnittpunkt für r = -10 ∧ s = 0

Comments

könntest du mir deine lösungswege verraten, da ich bei c) bei der schnittpunkt berechnung hängen geblieben bin


Schon jetzt einmal vielen dank

∧ = Schnittpunkt?

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Schreib mal auf wie weit du gekommen bist.

∧ ist das Mathematische Symbol für und.

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also bei c) habe ich das:


[0,1,1]+t=[4,2,4] + r·[2, 1, 1]


a) 0+1t=4+2r -> t= 4+2r

b) 1+0=2+r -> r=-1

c) 1 + t = 4+ r

t & r in c) eingesetzt

1 + 4 + 2r = 4-1

und weiß ich nicht, wie ich mit dem r umgehen soll


d) habe ich noch nicht angefangen

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[0, 1, 1] + r·[1, 0, 1] = [4, 2, 4] + s·[2, 1, 1]

0 + r = 4 + 2s --> r = 4 + 2s

1 + 0r = 2 + s --> s = -1

Da wir jetzt s kennen können wir auch r ausrechnen

r = 4 + 2(-1) = 2

Nun noch die 3. Zeile prüfen

1 + r = 4 + s
1 + 2 = 4 + (-1)
3 = 3

Die Geraden haben einen Schnittpunkt.
 

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qar b) den überhaupt richtig? ich hatte da

a) 2t = 2 -> t=1

b) 0t = 3+r -> -3 = r

c) 1t = 4 -1r

hier komme ich nicht weiter


danke schonmal

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tut mir leid habe b) gerade selbst gelöst!!!

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wann überprüfe ich die 3. zeile?


bei b) kam die nämlich nicht hin, aber trotzdem hatte die geraden einen schnittpunkt nämlich

(2,0,1)

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wo liegt der schnitt vektor bei c) oder haben die gar keinen

ich habe da

g:x (mit t =2) = [2,0,3]

bei h: x(mit r = -1) = (2,1,3)


sorry, dass ich dich so mit fragen zu schreibe