Steckbriefaufgabe: Ganzrationale Funktion aus Bedingungen 1. Der Graph von f(x) hat für x=3 eine Wendestelle

Question

Hallo :)

Ich stehe kurz vor der Matheprüfung in der Oberstufe und brauche   vollständige Lösungswege mit allen Rechenschritten zu den folgenden Aufgaben. Leider stehe ich in Mathe zwischen 5 und 6. Eine sechs in Mathe wäre das aus für meine Studienträume. Deshalb muss ich das vollständige Schema zur Lösung solcher Aufgaben auswendig lernen:

Bestimmung Ganzrationaler Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen

1. Der Graph von f(x) hat für x=3 eine Wendestelle

2. Die Tangente im Punkt P (1I2) hat die Steigung 2/3 (zweidrittel)

3. f(x) hat für x=1/2 eine doppelte Nullstelle

4. Der Graph von p(x) hat im Punkt P(2I3) eine horizontale Tangente

5. Der Graph von f(x) ist eine Parabel 5. Ordnung, die symmetrisch zum Nullpunkt verläuft

6. Notieren Sie die allgemeine Schreibweise einer y-achsensymmetrischen Funktion 4. Grades und leiten Sie             diese zwei Mal ab

7. Die Ableitungsfunktion von p(x) ist eine lineare Funktion

8. Der Graph von f(x) hat in P(3I6) eine Wendetangente mit der Steigung -1

9. Der Graph von f(x) hat im Punkt P(0I0) eine Tangente von 45°

10. Im Wendepunkt W(4I1) verläuft die Tangente parallel zur Geraden g(x) = -1/2 x+7

11. Die y-Achse wird vom Graphen einer ganzrationalen Funktion bei -7 geschnitten

12. Notieren Sie die allgemeine Schreibweise einer ganzrationalen Funktion 3. Grades und leiten Sie diese zwei           Mal ab

13. Der Graph der Funktion f(x) hat in P(4I5) ein relatives Extremum

14. Notieren Sie die Funktionsgleichung einer Parabel 2. Grades, deren Minimum im Punkt P(2I4) liegt und deren          Formfaktor  1/2 beträgt

15. Die Tangente im Ursprung fällt mit der 2. Winkelhalbierenden zusammen

16. Die Wendetangente im Punkt P(-2I3) hat die Steigung 1/2

Wie gesagt, ich brauche bitte eine Schritt für Schritt Anleitung und soweit für diese Aufgaben vorhanden einen "roten Faden" oder auch allgemeinen Lösungsansatz.

Vielen lieben Dank ,

Nina

Comments

Es ist wohl etwas viel :(

Vielleicht nur eine von den Aufgaben ???

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Du hast in einem anderem Forum zu genau diesen Aufgaben bereits Hilfe erhalten, reagierst aber nicht. Bist nichtmal bereit nachzudenken und bei gegebenen Hilfestellungen mitzuarbeiten ... *kopfschüttel*

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Danke, dass du mir sagst, was ich falsch mache - aber das war nicht gefragt Schlaumeier ;)

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Mach aus dieser Antwort einen Kommentar, damit die Frage noch offen ist. Schreib dann am besten noch dazu, welche Aufgabe du unbedingt brauchst.

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Danke Lu :)


Also wichtig wäre mir, dass jemand für diese Aufgabe einen Lösungsweg hat.


Bestimmung Ganzrationaler Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen:

Der Graph von f(x) hat für x=3 eine Wendestelle


Danke an Alle, die helfen wollen!

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Du musst dir klarmachen, was die verbalen Aussagen formelmäßig bedeuten, z. B.

f''(x) = 0 ist die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt

f'''(x) ≠ 0 ist die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt

Der Wendepunkt bei x = 3 ist quasi die Nullstelle der 2. Ableitung.

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Wäre dann f(3) = 0 die richtige Lösung??

Und wenn ja, wie komme ich rechnerisch dahin. Wie ist die richtige Schreibweise für den Lösungsweg?

Danke Bepprich :)

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nein f''(3) = 0 aber das ist na nur ein Baustein von vielen, um eine ganzrationale Funktion höheren Grades aufzustellen

Answer 1

1. Der Graph von f(x) hat für x=3 eine Wendestelle

f ''(3) = 0.

2. Die Tangente im Punkt P (1I2) hat die Steigung 2/3 (zweidrittel)

f(1) = 2

f ' (1) = 2/3

3. f(x) hat für x=1/2 eine doppelte Nullstelle

f(x) = a*(x-1/2)^2

Dabei kann a irgendeine reelle Zahl oder auch ein Term abhängig von x sein.

4. Der Graph von p(x) hat im Punkt P(2I3) eine horizontale Tangente

p(2) = 3

p ' (2) = 0

5. Der Graph von f(x) ist eine Parabel 5. Ordnung, die symmetrisch zum Nullpunkt verläuft

f(x) = ax^5 + bx^3 + cx

6. Notieren Sie die allgemeine Schreibweise einer y-achsensymmetrischen Funktion 4. Grades und leiten Sie             diese zwei Mal ab

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f ' (x) = 4ax^3 + 2bx 

f '' (x) = 12ax^2 + 2b

7. Die Ableitungsfunktion von p(x) ist eine lineare Funktion

p ' (x) = ax + b

8. Der Graph von f(x) hat in P(3I6) eine Wendetangente mit der Steigung -1

f(3) = 6

f ' (3) = -1

f ''(3) = 0

9. Der Graph von f(x) hat im Punkt P(0I0) eine Tangente von 45° 

Annahme: 'eine Tangentensteigung von 45°'

f(0) = 0

f ' (0) = 1

10. Im Wendepunkt W(4I1) verläuft die Tangente parallel zur Geraden g(x) = -1/2 x+7

f(4) = 1

f ' (4) = -1/2

f ' ' (4) = 0

11. Die y-Achse wird vom Graphen einer ganzrationalen Funktion bei -7 geschnitten

f(x) =p(x)* (x+7)

p(x) fast beliebiges Polynom. Darf den Faktor (x-7) nur mit geradem Exponenten enthalten.

12. Notieren Sie die allgemeine Schreibweise einer ganzrationalen Funktion 3. Grades und leiten Sie diese zwei           Mal ab

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f ' (x) = 3ax^2 + 2bx + c

f '' (x) = 6ax + 2b

13. Der Graph der Funktion f(x) hat in P(4I5) ein relatives Extremum

f (4) = 5

f ' (4) = 0

f ' (x) wechselt an der Stelle x=4 das Vorzeichen.

14. Notieren Sie die Funktionsgleichung einer Parabel 2. Grades, deren Minimum im Punkt P(2I4) liegt und deren          Formfaktor  1/2 beträgt

Benutze die Scheitelpunktform der Parabelgleichung. a ist der Formfaktor

f (x )  = -1/2 (x-2)^2 + 4

15. Die Tangente im Ursprung fällt mit der 2. Winkelhalbierenden zusammen

Gleichung der Tangente t: y = -x

f(0) = 0

f ' (0) = -1

16. Die Wendetangente im Punkt P(-2I3) hat die Steigung 1/2

f(-2) = 3

f ' (-2) = 1/2

f ''(-2) = 0

Comments

Vielen lieben Dank für die Lösungen!

Wie komme ich "genau" zur Lösung der ersten Aufgabe??? Was muss ich in der Arbeit hinschreiben, damit der Lehrer den Rechenweg erkennen kann?

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Wenn man nur die Bedingung f ''(3) = 0 hat, dann weiß man, dass eine ganzrationale Funktion mindestens den 3. Grad haben muss.

Um es einfach zu halten, stelle ich folgende Funktion auf: f(x) = x³ - 9x²  + x + 1

Die -9 hat seinen Grund, was gleich klarer wird.

f'(x) = 3x² - 18 x +1

f''(x) = 6x - 18 und das muss Null gesetzt werden, wegen Wendepunkt (notw. Krit.)

-> 6x - 18 = 0 -> x = 3 (aha)

Jetzt noch das hinreichende Kriterium prüfen, ob f'''(x) verscheiden von Null ist

-> f'''(x) = 6 und das ist ungleich Null.

Man muss bei der Aufgabe etwas rückwärts denken, damit man auf die -9 vor dem x² kommt .-)

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Das plättet mich total ! Ich denke ich bin an dieser Stelle raus.

Glaube nicht, dass ich in diesem Bereich Punkte machen werde.

Vielen Dank Bepprich :)

und an alle die helfen wollten.

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Wieso raus? Mit ein bisschen Übung kann man ewig drin sein

Also, 3. Grades deshalb, weil die dritte Ableitung von einer ganzrationalen Funktion 3. Grades immer ungleich Null sein muss: f(x) = a*x³ für a ≠ 0  -> f'(x) = 3*a*x² -> f''(x) = 6*a*x -> f'''(x) = 6*a ≠ 0

Soweit klar, warum dritten Grades ?

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Du hast ja gar nicht angegeben, was der Lehrer genau für eine Frage gestellt hat. 

1. Der Graph von f(x) hat für x=3 eine Wendestelle

gibt formal nur die beiden Bedingungen:

1. f ''(3) = 0. 

2. f '' (x) wechselt an der Stelle x=3 das Vorzeichen. Grund: Übergang von Rechts- in Linkskurve oder umgekehrt.

Wenn du nun einfach ein Beispiel angeben musst für eine Funktion, die bei x=3 eine Wendestelle hat, gib die einfachste Funktion an, die dir in den Sinn kommt.

Du weisst, dass y = x^3 in P(0,0) eine Wendestelle hat. Nun verschiebe diese Kurve um 3 Einheiten nach rechts: Da wird aus jedem vorkommenden x ein (x-3).

Also ist y = (x-3)^3 eine Funktion mit Wendestelle x = 3. Fertig.

Hier muss man zeigen, dass man weiss, was man macht und nichts rechnen.

Nun darfst du diese Gleichung noch ausmultiplizieren, wenn ausdrücklich eine klammerfreie Darstellung verlangt ist.

y = (x-3)(x-3)^2       |binomische Formel

= (x-3)(x^2 -6x + 9)           |Distributivgesetz

= x^3 - 6x^2 + 9x - 3x^2 + 18x - 27     |sortieren und zusammenfassen

= x^3 -9x^2 + 27x - 27