Steckbriefaufgabe: Formuliere, die Bedingungen als Gleichungen.

Question

g) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 5.Grades verläuft durch den Punkt P (0/3) und hat an der Stelle 8 einen Wendepunkt.

h) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4.Grades ist zur y-Achse achsensymmetrisch und hat an der Stelle 0 einen Hochpunkt sowie an der Stelle 4 einen Wendepunkt.

Answer 1

g) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 5.Grades verläuft
durch den Punkt P (0/3) und hat an der Stelle 8 einen Wendepunkt.

f ( x ) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex +  f
f ´( x ) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 + 2dx + e
f ´´ ( x ) = 20ax^3 + 12bx^2 + 6cx + 2d
f ( 0 ) = a*0^5 + b*0^4 + c*0^3 + d*0^2 + e*0 +  f = 3
f ´´ ( 8 ) = 20a*8^3 + 12b*8^2 + 6c*8 + 2d = 0

h) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4.Grades ist zur

y-Achse achsensymmetrisch und hat an der Stelle 0
einen Hochpunkt sowie an der Stelle 4 einen Wendepunkt.

f ( x ) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Achsensymmetrisch zu y-Achse heißt :
Glieder mit ungeradem Exponenten entfallen
f ( x ) = ax^4 + cx^2  + e
f ´( x ) = 4ax^3 + 2cx + d
f ´´ ( x ) = 12ax^2 + 2c
f ´( 0 ) = 4a*0^3 + 2c*0 + d = 0
f ´´ ( 0 ) = 12a*0^2 + 2c < 0
f ´´ ( 4 ) = 12a*4^2 + 2c = 0

Answer 2

h) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4.Grades ist zur y-Achse achsensymmetrisch und hat an der Stelle \(x=0\) einen Hochpunkt sowie an der Stelle \(x=4\)  einen Wendepunkt.

\(f(x)=ax^2(x-N)(x+N)+b=a(x^4-N^2x^2)+b\)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x)\)

\(f''(x)=a \cdot (12x^2-2N^2)\)

an der Stelle \(x=4\)  einen Wendepunkt:

\(f''(4)=a \cdot (192-2N^2)=0\)

\(N^2=96\)

\(f(x)=a(x^4-96x^2)+b\)  mit \(a>0\) bei  \(a<0\) kein Hochpunkt