Linearität der Zeilenextraktion

Question

Betrachten Sie folgende lineare Abbildung

\( \begin{aligned} Z: & \mathbb{R}^{4,3} \rightarrow \mathbb{R}^{1,3} \\ & M \quad \mapsto 3 \text {-te Zeile von } M \end{aligned} \)

und die beiden Matrizen

\( A=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 3 \\ -4 & -5 & -1 \\ -1 & -2 & 5 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5 \\ 0 & -4 & 3 \\ 3 & 4 & 4 \\ -4 & -5 & 4 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4,3} \)

a) Welches Format hat die Matrix \( M_{1}=Z(A)+Z(B)-Z(A+B) \) ? Bestimmen Sie \( M_{1} \).

b) Welches Format hat die Matrix \( M_{2}=Z(3 A)-3 Z(A) \) ? Bestimmen Sie \( M_{2} \).

Answer 1

a)

Das Format des Ergebnisses ist ( 1 x 3 )

$$M_{ 1 }=\begin{pmatrix} -4 & -5 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \end{pmatrix}-(\begin{pmatrix} -4+3) & (-5+4) & (-1+4) \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}-(\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$$=(0\quad 0\quad 0)$$

 

b)

Das Format des Ergebnisses ist ebenfalls ( 1 x 3 ).

$${ M }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 3*(-4) & 3*(-15) & 3*(-2 \end{pmatrix})-3*\begin{pmatrix} -4 & -5 & -2 \end{pmatrix})$$$$=\begin{pmatrix} -12 & -15 & -6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -12 & -15 & -6 \end{pmatrix}$$$$=(0 \quad 0 \quad 0)$$