Addition von Matrizen: A = [2, 0; 0, 4; 2, 0; 1, 2] ; B = [-1, 1; 1, -1] ; ...

Question

habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht verstehe was ich eigentlich machen soll...

a) Man addiere unter den folgenden Matrizen dijenigen, deren Summe erklärt ist.(Bitte auch die Varianten mit mehr als 2 Summanden, aber keine Matrix mehrfach verwenden)

A=(2 0 , 0 4 , 2 0 , 1 2 )   ,  B=( -1 1 , 1 -1 )  ,  C=( 3 7 9 , 4 4 1 )  ,  D=( 20  11, 20  12)

E=( 1 3 , 1 3 , 2 4 , 2 4 )  ,  F=( 2 2 , 1 -1 )  ,  G=( 20 , 4 , 2012)

ich kann leider keine Bilder einfügen, daher hab ich die Matrizen so aufgeschrieben, alles was jeweils nach einem Komma kommt steht untereinander, also z.B. bei A : 2 0 , 0 4 => die 0 nach dem Komma steht unter der 2 und die 4 unter der 0. Ich hoffe das ist verständlich?

Nun zu meiner Frage, was soll ich hier machen? Ich weiß nicht was zu zeigen ist. Kann mir vielleicht jemand anhand eines Beispiels aus den oberen Matrizen das erklären?

Bei der Aufgabe gibt es noch eine b) mit anderen Matrizen, aber da dort die gleiche Aufgabenstellung ist, weis ich auch dort nicht wirklich was zu tun ist...

Comments

VIELEN LIEBEN DANK für eugabe stetre schnellen Antworten :) allerdings noch eine Frage, wenn in der Aufgabe steht : Bitte auch die Varianten mit mehr als 2 Summanden, aber keine Matriz mehrfach verwenden... heißt das ich soll nur A+E und B+D+F  ausrechnen, oder so wie ihr das aufgeschrieben habt, also mehrere Varianten, bei denen bloß so etwas wie A+E+A nicht vorkommen darf?

Und das multiplizieren geht genauso oder? bei der b) muss ich die Matrizen multiplizieren

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also mehrere Varianten, bei denen bloß so etwas wie A+E+A nicht vorkommen darf?

So ist es.

Und das multiplizieren geht genauso oder?

Prinzipiell ja.
Beachte aber: Die Multiplikation zweier Matrizen setzt andere Formate dieser Matrizen voraus, als die Addition.
Ist dir bekannt, welche Typen von Matrizen bzgl. der Matrizenmultiplikation zueinander passen?

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Ok Danke.

Also ich habe bei Multiplikation:

A= (1 , -2 , 3 ; -2,3,-1)  ,  B= ( 2,4 ; 3,1 ; 1,2) und C=(-2,1 ; 0,3)

Hier kann ich doch c*A , A*B , B*C und A*B*C (wobei zuert A*B und das dann *C) rechnen oder?

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Man kann zwei Matrizen A ( m x n ) und B ( s x t ) genau dann miteinander multiplizieren, wenn gilt:

n = s

wenn also die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist.

Das Produkt C ist dann vom Typ C ( m x t ).

 

Vorliegend gilt:

A ( 2 x 3 )
B ( 3 x 2 )
C ( 2 x 2 )

Man kann also zunächst

A * B

rechnen. Das Ergebnis ist vom Typ ( 2 x 2 ) und kann daher noch mit C ( 2 x 2 ) multipliziert werden.
Ergebnistyp: ( 2 x 2 )

Weiterhin kann man rechnen:

B * C

Das Ergebnis ist vom Typ ( 3 x 2 ) und kann daher noch mit A ( 2 x 3 ) multipliziert werden.
Ergebnistyp: ( 3 x 3 )

Dann geht noch:

B * A

Das Ergebnis ist vom Typ ( 3 x 3 ) und kann daher nicht mit C ( 2 x 2 ) multipliziert werden.

und schließlich geht noch:

C * A

Das Ergebnis ist vom Typ ( 2 x 3 ) und kann daher noch mit B ( 3 x 2 ) multipliziert werden.
Ergebnistyp: ( 2 x 2 )

Also: Alle möglichen Produkte ohne Wiederholungen sind:

A * B

A * B * C

B * C

B * C * A

B * A

C * A

C * A * B

 

 

Answer 1

A = [2, 0; 0, 4; 2, 0; 1, 2] 4x2
B = [-1, 1; 1, -1] 2x2
C = [3, 7, 9; 4, 4, 1] 2x3
D = [20, 11; 20, 12] 2x2
E = [1, 3; 1, 3; 2, 4; 2, 4] 4x2
F = [2, 2; 1, -1] 2x2
G = [20; 4; 2012] 3x1

Matrizen dürfen nur Addiert werden wenn sie vom gleichen Typ sind, d.h. die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben.

A + E = [2, 0; 0, 4; 2, 0; 1, 2] + [1, 3; 1, 3; 2, 4; 2, 4] = [3, 3; 1, 7; 4, 4; 3, 6]

B + D = [-1, 1; 1, -1] + [20, 11; 20, 12] = [19, 12; 21, 11]

B + F = [-1, 1; 1, -1] + [2, 2; 1, -1] = [1, 3; 2, -2]

D + F = [20, 11; 20, 12] + [2, 2; 1, -1] = [22, 13; 21, 11]

B + D + F = [-1, 1; 1, -1] + [20, 11; 20, 12] + [2, 2; 1, -1] = [21, 14; 22, 10]

Answer 2

Nun, die Summe von Matrizen ist nur für solche Matrizen erklärt (definiert), deren Zeilenanzahlen übereinstimmen und deren Spaltenanzahlen übereinstimmen.

Das ist vorliegend der Fall für:

A und E (jeweils 4 Zeilen und 2 Spalten)

B, D und F ( jeweils 2 Zeilen und 2 Spalten)

C und G hingegen passen weder zueinander noch zu einer der anderen Matrizen.

Man kann daher folgende Summen bilden:

A + E

B + D ,

B + F ,

D + F ,

B + D + F

Man bildet die Summe zweier zueinander passender Matrizen, indem man an jede Position der Ergebnismatrix die Summe der Einträge an den entsprechenden Positionen der zu addierenden Matrizen schreibt.

So ist beispielsweise die Summe von A und E:

$$A+E=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \\ 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 7 \\ 4 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

Die übrigen Summen kannst du nun sicher selber bilden.