Funktion 3. grades bestimmen mit hoch und tiefpunkt

Question

Hier die Aufgabe: bestimme die Gleichung einer funktion f mit den folgenden Eigenschaften: f ist eine ganzrationale Funktion dritten grades, der graph besitzt einen tiefpunkt t (-2/-8) und einen hochpunkt h (0/0)

Answer 1

f(x) = a*x³ + b*x² + c*x + d

f'(x) = 3*a*x² + 2*b*x + c

f''(x) = 6*a*x + 2*b

Es gelten folgenden Bedingungen:

f'(0) = 0 -> f'(0) = 3*a*0² + 2*b*0 + c = 0 -> c = 0

f'(-2) = 0 -> f'(-2) = 3*a*(-2)² + 2*b*(-2) + c = 12*a -4*b = 0 -> b = 3*a   (Gl. 1)

f(0) = 0 -> f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 0 -> d = 0

f(-2) = -8 ->f(-2) = a*(-2)³ + b*(-2)² + c*(-2) + d = -8 -> (-8)* a* + 4*b= -8 -> b = -2 + 2*a (Gl. 2)

-> Gl 1 = Gl. 2 -> 3*a = -2 + 2*a -> a = -2 und mit Gl. 1 b = -6

-> f(x) = -2x³ - 6x² 

Answer 2

 

für eine Funktion 3. Grades

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

brauchen wir für die Variablen a, b, c und d insgesamt vier Informationen, die uns gegeben sind:

f(-2) = -8a + 4b - 2c + d = -8

f'(-2) = 12a - 4b + c = 0

f(0) = d = 0

f'(0) = c = 0

Also bleibt

I. -8a + 4b = -8

II. 12a - 4b = 0

I. + II.

4a = -8

a = -2

b = -6

Die Funktion lautet also

f(x) = -2x³ - 6x²

 

Besten Gruß

Comments

Prima, das freut mich!

Gern geschehen :-)

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Hallo Brucybabe <3,

mich auch, aber das macht mich auch echt wütend, weil bei mir geht das nicht. Bin ich dumm?^hdgdl

:)

Answer 3

Bestimme die Gleichung einer Funktion f mit den folgenden Eigenschaften: f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, der Graph besitzt einen Tiefpunkt T \((-2|-8)\) und einen Hochpunkt H\((0|0)\)

Bei H \((0|0)\) ist eine doppelte Nullstelle. Es bietet sich somit der Lösungsweg über die Nullstellenform der kubischen Parabel an:

\(f(x)=ax^2(x-N)\)

Tiefpunkt T \((-2|-8)\):

\(f(-2)=4a(-2-N)\)

\(a(2+N)=2\)

\(a=\frac{2}{2+N}\):

\(f(x)=\frac{2}{2+N}[x^2(x-N)]=\frac{2}{2+N}[x^3-x^2N]\)

\(f´(x)=\frac{2}{2+N}[3x^2-2xN]\)

Tiefpunkteigenschaft:  T \((-2|...)\):

\(f´(-2)=\frac{2}{2+N}[12+4N]\)

\(\frac{2}{2+N}[12+4N]=0\)

\(N=-3\)   \(a=\frac{2}{2-3}=-2\):

\(f(x)=-2x^2(x+3)\)