Setze U := {A ∈ M(n × n,R) | tA = A} und W := {A ∈ M(n × n, R) | tA = −A}. Zeigen Sie

Question

Sei n ∈ N. Setze U := {A ∈ M(n × n,R) | tA = A} und W := {A ∈ M(n × n, R) | tA = −A}. Zeigen Sie

 

(i) U und W sind Untervektoräume des R-Vektorraums M(n × n,R).

(ii) dimU= (n (n+1))/2 und dimW=(n (n-1))/2

(iii) M (n×n, R)=U

⊕W

Comments

Wer kann helfen?

Die drei bedingungenfür den UVR sind ja erfüllt  das hab ich nachgerechnet. Zu ii muss man basen finden, aber wie?

Und zu iii ist es richtig zu sagen dass die direkte summe von A und -A gleich ganz M (n×n, R) ist?

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Die gepostete Aufgabe ist nur schwer lesbar. Was soll denn tA überhaupt sein?. Das transponierte von A:$$A^t$$? Und sowas wie die direkte Summe von A und -A gibt es nicht. Da wär's wohl sinnvoll nochmal die Definition nachzulesen.

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Ja ist dietransponierte....wie ist denn dann iii oder auch ii? Kannst du helfen

Answer 1

ii) Eine Basis des Raums der symmetrischen Matrizen bilden ist z.B. : {m_{ij}}_{n≥i≥j≥1} die nur an der/den Stelle(n) (i,j) and (j,i) den Eintrag 1 haben; 0 sonst. Die Dimension ergibt sich etwa mit der gaußschen Summenformel. iii) Aufgrund der Dimensformel genügt es zu zeigen, dass der Schnitt der beiden Mengen trivial ist. Oder man verwendet die Darstellung $$A= 1/2 (A+A^t) +1/2(A-A^t) $$.